96. На рисунках изображены три окружности. Две из них концентрические с центром O, а третья — с центром M — касается этих окружностей. Используя данные рисунков, найдите OC и OK.

### Решение задачи 1 (слева) На рисунке окружность с центром $M$ касается внутренним образом большой окружности с центром $O$ и внешним образом меньшей окружности с центром $O$. Пусть $R$ — радиус большой окружности, $r$ — радиус меньшей окружности (концентрических), а $r_M$ — радиус окружности с центром $M$. Тогда: 1) Расстояние между центрами $MO = R - r_M$ (так как окружность с центром $M$ касается большой окружности внутренним образом). 2) Расстояние между центрами $MO = r + r_M$ (так как окружность с центром $M$ касается меньшей окружности внешним образом). Из условия $MA = r_M = 1$. Тогда $MO = r + 1 = 3$, откуда $r = 2$. $OC$ — это радиус меньшей окружности, то есть $OC = r = 2$. **Ответ: 2** ### Решение задачи 2 (справа) Здесь окружность с центром $M$ касается обеих концентрических окружностей (с центром $O$) внутренним образом. Пусть $R$ — радиус большой, $r$ — радиус меньшей окружностей. $MA$ — радиус окружности с центром $M$, $MA = 2$. Расстояние $MO = 1$. 1) Расстояние от $M$ до самой дальней точки (касание большой окружности) равно $MA = 2$. Это расстояние также равно $MO + R$, то есть $R = MA - MO = 2 - 1 = 1$. Это невозможно, так как радиус большой окружности должен быть больше радиуса меньшей. Посмотрим внимательнее: $M$ находится между точками касания. Радиус окружности с центром $M$ равен $r_M = MA = 2$. Расстояние до большой окружности: $R = MO + r_M = 1 + 2 = 3$. Расстояние до меньшей окружности: $r = r_M - MO = 2 - 1 = 1$. Отрезок $OK$ — это радиус большой окружности. $OK = R = 3$. **Ответ: 3**