1. В треугольнике два угла равны 43° и 88°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. Сумма углов треугольника равна 180°. Третий угол: 180° - 43° - 88° = 49°. 2. Так как внешние углы при двух вершинах равны, то и внутренние углы при этих вершинах равны (смежные углы). Значит, треугольник равнобедренный. Пусть стороны равны x, x и 20. Периметр P = x + x + 20 = 86, 2x = 66, x = 33. Стороны равны 33 и 33. 3. В равнобедренном треугольнике ABC (AC - основание) углы при основании равны: ∠A = ∠C. Пусть ∠B = 28°. Тогда ∠A = ∠C = (180° - 28°) / 2 = 76°. Треугольник ADC равнобедренный (AD = AC), значит, углы при основании CD равны: ∠ADC = ∠ACD. В треугольнике ADC ∠DAC - внешний для треугольника ABC при вершине A, значит, ∠DAC = 180° - ∠A = 180° - 76° = 104°. Тогда ∠ADC = (180° - 104°) / 2 = 38°. 4. В прямоугольном треугольнике ABC с высотой CD, проведенной к гипотенузе, треугольник BCD подобен треугольнику BCA. Отношение сторон: BC / AB = BD / BC. Пусть AC = b, AB = c. По теореме Пифагора c² = b² + 36. Из подобия: 6 / c = 3 / 6, значит c = 12. Тогда b² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108. b = 6√3. cos A = AC / AB = (6√3) / 12 = √3 / 2. Угол A = 30°. 5. В равнобедренном треугольнике ABC (AB - основание) ∠A = ∠B. По условию ∠C = 1/2 * ∠A. Сумма углов: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, значит, 2 * ∠A + 0.5 * ∠A = 180°, 2.5 * ∠A = 180°, ∠A = 72°. Тогда ∠B = 72°. Внешний угол при вершине B равен 180° - ∠B = 180° - 72° = 108°.