Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 115°, угол BOC равен 80°. Найдите градусную меру угла OCD.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанного четырёхугольника и центрального угла. 1. Пусть ABCD вписан в окружность с центром O. Точки A, B, C, D лежат на окружности, значит, отрезки OA, OB, OC, OD — радиусы окружности (R). 2. Треугольники ΔOAB, ΔOBC, ΔOCD, ΔODA — равнобедренные (например, OA = OB = R, значит, ΔOAB равнобедренный). 3. Угол DAB вписанный, опирается на дугу BCD. По теореме о вписанном угле, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше: ∠BOD = 2 * ∠DAB = 2 * 115° = 230°. Это дуга «большая», так как O внутри четырёхугольника. 4. Сумма углов вокруг точки O равна 360°. Сумма углов AOB + BOC + COD + DOA = 360°. 5. Рассмотрим треугольник ΔOBC: так как OB = OC = R, он равнобедренный. Угол при вершине BOC равен 80°. Углы при основании OCB и OBC равны (180° - 80°) / 2 = 50°. 6. Рассмотрим треугольник ΔOAB: OB = OA = R. Угол AOB = 360° - (∠BOC + ∠COD + ∠DOA). На самом деле, для вписанного четырёхугольника: угол между хордами и центром связан с дугами. Заметим, что ∠DAB = 115° — это вписанный угол, опирающийся на дугу BCD. Дуга BCD = 2 * 115° = 230° (это дуга, не содержащая точки A). Дуга BAD = 360° - 230° = 130°. Угол BOC — центральный, опирается на дугу BC. Следовательно, дуга BC = 80°. 7. Нам нужно найти ∠OCD. В треугольнике ΔOCD стороны OC = OD = R. Угол COD — центральный, опирается на дугу CD. Дуга CD = 360° - (дуга AB + дуга BC + дуга AD). Поскольку угол DAB опирается на дугу BCD (сумма дуг BC + CD), а угол ABC опирается на ADC (CD + AD), это может быть сложно. Проще: Пусть ∠OAB = ∠OBA = α, ∠OBC = ∠OCB = β, ∠OCD = ∠ODC = γ, ∠ODA = ∠OAD = δ. В ΔOAB: 2α + ∠AOB = 180° => ∠AOB = 180 - 2α. В ΔOBC: 2β + 80° = 180° => β = 50°. В ΔOCD: 2γ + ∠COD = 180° => ∠COD = 180 - 2γ. В ΔOAD: 2δ + ∠AOD = 180° => ∠AOD = 180 - 2δ. Также ∠DAB = α + δ = 115°. Сумма углов AOB + BOC + COD + AOD = 360°: (180 - 2α) + 80 + (180 - 2γ) + (180 - 2δ) = 360 620 - 2(α + δ) - 2γ = 360 620 - 2(115) - 2γ = 360 620 - 230 - 2γ = 360 390 - 2γ = 360 30 = 2γ γ = 15°. Ответ: 15°.