1. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Решение задачи №1: Пусть стороны треугольника $a = 10$, $b = 12$, а медиана, проведенная к третьей стороне $c$, равна $m_c = 5$. Воспользуемся формулой длины медианы: $m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ Подставим значения: $5 = \frac{1}{2} \sqrt{2(10^2) + 2(12^2) - c^2}$ $10 = \sqrt{200 + 288 - c^2}$ $100 = 488 - c^2$ $c^2 = 388$ $c = \sqrt{388} = 2\sqrt{97}$ Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона или через высоту. Проще всего достроить треугольник до параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ и диагональю $2m_c = 10$. Однако, заметим, что $a^2 + c^2 = 10^2 + (2\sqrt{97})^2 = 100 + 388 = 488$, а $b^2 = 12^2 = 144$. Это не помогает напрямую. Воспользуемся свойством: медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади). Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, где $M$ — середина $BC$, $AM = 5$. В треугольнике $ABM$ стороны равны $10, 6, 5$ (т.к. $c/2 = \sqrt{388}/2 = \sqrt{97} \approx 9.8$). Площадь треугольника $ABM$ по формуле Герона: $p = \frac{10+6+9.8}{2} = 12.9$ Это слишком сложно. Проверим условие: существует ли такой треугольник? $a+b > c \implies 10+12 > 19.6$ (верно). Площадь $S = 2 \cdot S_{ABM}$. Для $\triangle ABM$ (стороны $10, 6, 5$): $p = 10.5$. $S_{ABM} = \sqrt{10.5 \cdot 0.5 \cdot 4.5 \cdot 5.5} = \sqrt{129.9375} \approx 11.4$. Итого $S \approx 22.8$. Решение задачи №2: Пусть медиана $AM$ делит угол $A$ на углы $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 70^\circ$. По теореме синусов в $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$: $\frac{BM}{\sin 40^\circ} = \frac{AB}{\sin \angle AMB}$ $\frac{CM}{\sin 70^\circ} = \frac{AC}{\sin \angle AMC}$ Так как $BM = CM$ и $\angle AMB + \angle AMC = 180^\circ$ (значит $\sin \angle AMB = \sin \angle AMC$), $\frac{AB}{\sin \angle AMB} \cdot \sin 40^\circ = \frac{AC}{\sin \angle AMB} \cdot \sin 70^\circ$ $AB \sin 40^\circ = AC \sin 70^\circ$. Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. В данном случае это доказывается через теорему синусов, так как соотношение углов приводит к тому, что медиана является радиусом описанной окружности или отсекает равнобедренные треугольники.