Question

780 Докажите, что для любого вектора $\vec{a}$ справедливы равенства: а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$; б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Accepted Answer

Для доказательства воспользуемся определением произведения вектора на число. а) По определению, произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется вектор, длина которого равна $|k| \cdot |\vec{a}|$, а направление совпадает с направлением $\vec{a}$ (если $k > 0$) или противоположно ему (если $k < 0$). Для $k = 1$ имеем: длина нового вектора равна $|1| \cdot |\vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Так как $1 > 0$, направление вектора совпадает с направлением $\vec{a}$. Вектор, сонаправленный с $\vec{a}$ и имеющий ту же длину, — это сам вектор $\vec{a}$. Следовательно, $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$. б) Рассмотрим $(-1) \cdot \vec{a}$. Длина этого вектора равна $|-1| \cdot |\vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Так как $-1 < 0$, направление полученного вектора противоположно направлению $\vec{a}$. Вектор, имеющий ту же длину, что и $\vec{a}$, но противоположно направленный, по определению есть вектор $-\vec{a}$. Следовательно, $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

780 Докажите, что для любого вектора $\vec{a}$ справедливы равенства: а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$; б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Ответ ассистента

Другие решения