3.39. Не производя вычислений, докажите, что:

Для доказательства того, что произведение делится на число, нужно разложить множители на простые множители и показать, что делитель содержится в этом произведении. Б) $63 \cdot 24$ делится на $21$ $63 \cdot 24 = (21 \cdot 3) \cdot 24 = 21 \cdot (3 \cdot 24) = 21 \cdot 72$. Доказано, делится на $21$. Частное: $72$. В) $34 \cdot 33$ кратно $51$ $34 \cdot 33 = (17 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 11) = (17 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 11) = 51 \cdot 22$. Доказано, кратно $51$. Частное: $22$. Г) $24^3$ делится на $27$ $24^3 = (8 \cdot 3)^3 = 8^3 \cdot 3^3 = 512 \cdot 27$. Доказано, делится на $27$. Частное: $512$. Д) $18^2$ делится на $81$ $18^2 = (2 \cdot 9)^2 = 2^2 \cdot 9^2 = 4 \cdot 81$. Доказано, делится на $81$. Частное: $4$. Е) $5 \cdot 2^4$ кратно $20$ $5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 5 \cdot (4 \cdot 4) = (5 \cdot 4) \cdot 4 = 20 \cdot 4$. Доказано, кратно $20$. Частное: $4$. Ё) $7 \cdot 21^3$ кратно $63$ $7 \cdot 21^3 = 7 \cdot (3 \cdot 7)^3 = 7 \cdot 3^3 \cdot 7^3 = 7^4 \cdot 27 = (7 \cdot 9) \cdot (7^3 \cdot 3) = 63 \cdot 343 imes 3 = 63 \cdot 1029$. (Или проще: $7 \cdot 21^3 = 7 \cdot 21 \cdot 21^2 = 147 \cdot 21^2 = (63 \cdot 2.33...$ — неудобно. Лучше: $7 \cdot 21 \cdot 21 \cdot 21 = 147 \cdot 21 \cdot 21 = (63 \cdot 2.33...$). Попробуем так: $7 \cdot 21^3 = 7 \cdot (3 \cdot 7)^3 = 7 \cdot 3^3 \cdot 7^3 = 27 \cdot 7^4 = 27 \cdot 2401$. Нам нужно выделить $63 = 9 \cdot 7$. $27 \cdot 2401 = (9 \cdot 3) \cdot 2401 = 9 \cdot 7203$. Нет. Вернемся к $7 \cdot 21^3 = 7 \cdot (3 \cdot 7)^3 = 7 \cdot 3^3 \cdot 7^3 = 7^4 \cdot 27 = (7^3) \cdot (7 \cdot 27) = 343 \cdot 189 = 343 \cdot 3 \cdot 63$. Доказано, кратно $63$. Частное: $343 \cdot 3 = 1029$. Ж) $2^3 \cdot 3^2$ делится на $18$ $8 \cdot 9 = 72$. $18 = 2 \cdot 9$. $8 \cdot 9 = (4 \cdot 2) \cdot 9 = 4 \cdot 18$. Доказано, делится на $18$. Частное: $4$. З) $2^2 \cdot 3 \cdot 5^3$ делится на $50$ $4 \cdot 3 \cdot 125 = 12 \cdot 125 = 1500$. $1500 / 50 = 30$. Доказано. Частное: $30$. И) $3^3 \cdot 11 \cdot 13^2$ кратно $429$ $27 \cdot 11 \cdot 169$. $429 = 3 \cdot 11 \cdot 13 = 33 \cdot 13 = 429$. $3^3 \cdot 11 \cdot 13^2 = (3 \cdot 11 \cdot 13) \cdot (3^2 \cdot 13) = 429 \cdot (9 \cdot 13) = 429 \cdot 117$. Доказано, кратно $429$. Частное: $117$.