3) f(x) = 2 ln(x + 3) - x;

Для исследования данных функций обычно требуется найти область определения, производную, критические точки, промежутки монотонности и экстремумы. ### 3) $f(x) = 2 \ln(x + 3) - x$ 1. **Область определения:** $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$. ОДЗ: $(-3; +\infty)$. 2. **Производная:** $f'(x) = \frac{2}{x + 3} - 1 = \frac{2 - (x + 3)}{x + 3} = \frac{-x - 1}{x + 3}$. 3. **Критические точки:** $f'(x) = 0 \Rightarrow -x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. 4. **Промежутки:** при $x \in (-3; -1)$ производная $> 0$ (функция возрастает), при $x \in (-1; +\infty)$ производная $< 0$ (функция убывает). В точке $x = -1$ максимум. ### 4) $f(x) = \ln(x + 1) - 2x$ 1. **Область определения:** $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$. ОДЗ: $(-1; +\infty)$. 2. **Производная:** $f'(x) = \frac{1}{x + 1} - 2 = \frac{1 - 2(x + 1)}{x + 1} = \frac{-2x - 1}{x + 1}$. 3. **Критические точки:** $f'(x) = 0 \Rightarrow -2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -0,5$. 4. **Промежутки:** при $x \in (-1; -0,5)$ $f'(x) > 0$ (возрастает), при $x \in (-0,5; +\infty)$ $f'(x) < 0$ (убывает). Максимум в $x = -0,5$. ### 5) $f(x) = x^2 + 2x - 12 \ln x$ 1. **Область определения:** $x > 0$. ОДЗ: $(0; +\infty)$. 2. **Производная:** $f'(x) = 2x + 2 - \frac{12}{x} = \frac{2x^2 + 2x - 12}{x} = \frac{2(x^2 + x - 6)}{x}$. 3. **Критические точки:** $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета корни $x = 2$ и $x = -3$. Так как $x > 0$, берем $x = 2$. 4. **Промежутки:** при $x \in (0; 2)$ $f'(x) < 0$ (убывает), при $x \in (2; +\infty)$ $f'(x) > 0$ (возрастает). Минимум в $x = 2$. ### 6) $f(x) = x^2 - 6x - 8 \ln x$ 1. **Область определения:** $x > 0$. ОДЗ: $(0; +\infty)$. 2. **Производная:** $f'(x) = 2x - 6 - \frac{8}{x} = \frac{2x^2 - 6x - 8}{x} = \frac{2(x^2 - 3x - 4)}{x}$. 3. **Критические точки:** $x^2 - 3x - 4 = 0$. Корни $x = 4$ и $x = -1$. Так как $x > 0$, берем $x = 4$. 4. **Промежутки:** при $x \in (0; 4)$ $f'(x) < 0$ (убывает), при $x \in (4; +\infty)$ $f'(x) > 0$ (возрастает). Минимум в $x = 4$.