1. Начертите два неколлинеарных вектора a и b. Постройте векторы, равные: а) 1/2a + 3b; б) 2b - a.

1. Чтобы построить вектор, равный сумме или разности векторов, используем правило треугольника или параллелограмма: а) Отложим вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ и из его конца вектор $3\vec{b}$. Вектор, соединяющий начало первого и конец второго — искомый. б) Отложим вектор $2\vec{b}$, и из его конца вычтем вектор $\vec{a}$ (прибавим $-\vec{a}$). 2. Пусть $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$. В ромбе $ABCD$: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$, $\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}$. Диагонали пересекаются в точке $O$, $O$ — середина $AC$ и $BD$. Тогда $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$. $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK}$. Так как $K$ лежит на $BC$ и $BK=KC$, то $\vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{b}$. Следовательно, $\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$. $\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$. 3. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \frac{a+b}{2}$. $m = \frac{5 + 12}{2} = \frac{17}{2} = 8,5$ см. 4*. В треугольнике $ABC$ точка $O$ — пересечение медиан. Свойство медиан: они делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть $AM$ — медиана из $A$. Тогда $\vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{AM}$. Медиана $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$. Следовательно, $\vec{AO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})$.