522

### Ответ 1. Произведение данных дробей: **$\dfrac{52}{45}$** (или $1\dfrac{7}{45}$). 2. Произведение обратных дробей: **$\dfrac{45}{52}$**. 3. **Свойство:** данные два произведения являются **взаимно обратными числами** (их произведение равно $1$). 4. **Проверка на примере:** для дробей $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{5}{7}$ произведение равно $\dfrac{10}{21}$, а произведение обратных им дробей ($\dfrac{3}{2}$ и $\dfrac{7}{5}$) равно $\dfrac{21}{10}$. Числа $\dfrac{10}{21}$ и $\dfrac{21}{10}$ — взаимно обратные ($\dfrac{10}{21} \cdot \dfrac{21}{10} = 1$). 5. **Доказательство в общем виде:** $\left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\right) \cdot \left(\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{d}{c}\right) = \dfrac{ac}{bd} \cdot \dfrac{bd}{ac} = 1$. --- ### Объяснение и пошаговое решение #### 1. Нахождение произведения исходных дробей Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $$\frac{4}{5} \cdot \frac{13}{9} = \frac{4 \cdot 13}{5 \cdot 9} = \frac{52}{45} = 1\frac{7}{45}$$ #### 2. Нахождение произведения дробей, обратных данным Дробь, обратная к $\dfrac{4}{5}$, равна $\dfrac{5}{4}$. Дробь, обратная к $\dfrac{13}{9}$, равна $\dfrac{9}{13}$. Перемножим их: $$\frac{5}{4} \cdot \frac{9}{13} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 13} = \frac{45}{52}$$ #### 3. Формулировка свойства Полученные числа $\dfrac{52}{45}$ и $\dfrac{45}{52}$ являются **взаимно обратными**, так как числитель и знаменатель поменялись местами, а их произведение равно $1$: $$\frac{52}{45} \cdot \frac{45}{52} = 1$$ #### 4. Проверка предположения на другом примере Возьмём дроби $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{5}{7}$: * Произведение данных дробей: $$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$$ * Дроби, обратные данным: $\dfrac{3}{2}$ и $\dfrac{7}{5}$. Их произведение: $$\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{5} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 5} = \frac{21}{10}$$ * Проверим их взаимную обратность: $$\frac{10}{21} \cdot \frac{21}{10} = 1$$ Свойство выполняется. #### 5. Доказательство свойства в общем виде Пусть даны любые две дроби $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$ (где $a, b, c, d \neq 0$). 1. Найдём произведение данных дробей: $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ 2. Запишем дроби, обратные данным: это $\dfrac{b}{a}$ и $\dfrac{d}{c}$. Их произведение равно: $$\frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = \frac{bd}{ac}$$ 3. Умножим первое полученное произведение на второе: $$\frac{ac}{bd} \cdot \frac{bd}{ac} = \frac{ac \cdot bd}{bd \cdot ac} = 1$$ Так как результат умножения равен $1$, по определению числа $\dfrac{ac}{bd}$ и $\dfrac{bd}{ac}$ являются взаимно обратными. Свойство полностью доказано.