Объяснение и пошаговое решение
### Проверочная работа № 1
#### Итоговый ответ
1. **Верные утверждения:** **б**, **в**.
2. **а) Простые числа:** $7, 23, 31, 43$;
**б) Составные числа:** $20, 33, 49, 60$.
*(Число $1$ не является ни простым, ни составным).*
3. **Делители числа $24$:** $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$.
**Простых делителей:** $2$ (это числа $2$ и $3$).
4. **Все делители чисел:**
а) для $2 \cdot 3 \cdot 11$ ($66$): $1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66$;
б) для $3^2 \cdot 7$ ($63$): $1, 3, 7, 9, 21, 63$.
---
#### Объяснение
1. **Определения:**
* **Простое число** — это натуральное число больше $1$, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя (утверждение **в** — верно, а **а**, **г** — неверны).
* **Составное число** — это натуральное число, имеющее более двух делителей (утверждение **б** — верно).
* Число $1$ имеет всего один делитель (само себя), поэтому оно не является ни простым, ни составным (утверждения **д**, **е** — неверны).
2. **Классификация чисел:**
* $7, 23, 31, 43$ делятся только на $1$ и на себя $\rightarrow$ простые.
* $20, 33, 49, 60$ имеют другие делители ($20 = 4 \cdot 5$, $33 = 3 \cdot 11$, $49 = 7 \cdot 7$, $60 = 6 \cdot 10$) $\rightarrow$ составные.
* $1$ — не входит ни в одну из этих групп.
3. **Делители числа $24$:**
Выпишем все пары чисел, произведение которых даёт $24$:
$1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$.
Всего делителей $8$: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$. Из них простыми числами являются только $2$ и $3$ (всего $2$ простых делителя).
4. **Нахождение всех делителей по разложению:**
* **а)** $2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$. Делителями являются: $1$; простые множители ($2, 3, 11$); их попарные произведения ($2 \cdot 3 = 6$, $2 \cdot 11 = 22$, $3 \cdot 11 = 33$); само число ($2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$).
Всего $8$ делителей: $1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66$.
* **б)** $3^2 \cdot 7 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 63$. Делители: $1, 3, 7, 3 \cdot 3 = 9, 3 \cdot 7 = 21, 3 \cdot 3 \cdot 7 = 63$.
Всего $6$ делителей: $1, 3, 7, 9, 21, 63$.
---
---
### Проверочная работа № 2
#### Итоговый ответ
1. **а)** $8$ простых чисел;
**б)** $10$ составных чисел;
**в)** Да, существуют (например, $9$);
**г)** Да, существует (это число $2$).
2. **Разложение на простые множители:**
а) $6 = 2 \cdot 3$;
б) $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$;
в) $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$;
г) $124 = 2 \cdot 2 \cdot 31 = 2^2 \cdot 31$.
3. **Вычисление частного удобным способом:**
а) $8$;
б) $21$;
в) $70$.
---
#### Объяснение
1. **Числа, меньшие $20$ (от $1$ до $19$):**
* **а)** Простые числа: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ — всего **$8$ чисел**.
* **б)** Составные числа: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18$ — всего **$10$ чисел** *(число $1$ не учитывается)*.
* **в)** Нечётные числа, которые имеют делители кроме $1$ и себя, существуют: $9$ ($3 \cdot 3$), $15$ ($3 \cdot 5$), $21$ ($3 \cdot 7$) и др.
* **г)** Единственное чётное простое число — это $2$ (все остальные чётные числа делятся на $2$, поэтому являются составными).
2. **Разложение на простые множители:**
* а) $6 = 2 \cdot 3$
* б) $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
* в) $72 = 8 \cdot 9 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^2$
* г) $124 = 2 \cdot 62 = 2 \cdot 2 \cdot 31 = 2^2 \cdot 31$
3. **Удобный способ деления произведения:**
Чтобы разделить произведение на число или другое произведение, можно сократить одинаковые множители в делимом и делителе:
* **а)** $(3 \cdot 4 \cdot 2) : 3 = (3 : 3) \cdot 4 \cdot 2 = 1 \cdot 8 = 8$
* **б)** $(5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2) : (5 \cdot 2 \cdot 2) = \dfrac{(5 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (7 \cdot 3)}{5 \cdot 2 \cdot 2} = 7 \cdot 3 = 21$
* **в)** $(7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 13) : (7 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13) = \dfrac{(7 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13) \cdot (5 \cdot 2 \cdot 7)}{7 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13} = 5 \cdot 2 \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70$
ИИ-решебник / §2 / проверочные работы / стр. 49
