Подробное решение §2 / проверочные работы № стр. 54 по математике для учащихся 6 класса , авторов Виленкин, Жохов, Чесноков, Александрова, Шварцбурд 2021-2026
Сохраняй ГДЗ в Избранное
Войди через VK — твой список решебников всегда под рукой
Проверочная работа
1 Какие из данных чисел являются взаимно простыми:
а) 12 и 15;
б) 29 и 34;
в) 25 и 30;
г) 72 и 73?
2 Даны разложения на простые множители двух чисел:
2 • 2 • 5 • 7 и 2 • 7 • 11.
Найдите их наибольший общий делитель.
3 Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 34 и 56;
б) 45 и 65;
в) 102 и 204;
г) 1005 и 960.
4 Разложите на простые множители числа 1440 и 240. Во сколько раз 1440 больше 240?
5 Дана правильная дробь m/15 . Найдите все значения т такие, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми.
ИИ-решебник / §2 / проверочные работы / стр. 54
Ответ подготовлен нейросетью и может содержать ошибки
Объяснение и пошаговое решение
### Ответ
**1.** б) 29 и 34; г) 72 и 73.
**2.** $14$
**3.**
* а) $2$;
* б) $5$;
* в) $102$;
* г) $15$.
**4.**
* $1440 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$
* $240 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$
* В $6$ раз.
**5.** $m = 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14$.
---
### Подробное объяснение решения
#### 1. Определение взаимно простых чисел
Числа называются **взаимно простыми**, если их наибольший общий делитель равен $1$ (у них нет других общих делителей).
* **а) 12 и 15:** оба числа делятся на $3$ $\implies$ не взаимно простые.
* **б) 29 и 34:** $29$ — простое число, а $34 = 2 \cdot 17$. Общих делителей, кроме $1$, нет $\implies$ **взаимно простые**.
* **в) 25 и 30:** оба числа оканчиваются на $5$ и $0$, значит, делятся на $5$ $\implies$ не взаимно простые.
* **г) 72 и 73:** любые два последовательных натуральных числа всегда **взаимно простые** (их НОД равен $1$).
---
#### 2. Нахождение НОД по готовому разложению
Даны два числа:
* Первое число: $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$
* Второе число: $2 \cdot 7 \cdot 11$
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД), перемножаем простые множители, которые входят в разложение **обоих** чисел:
$$\text{НОД} = 2 \cdot 7 = 14$$
---
#### 3. Нахождение наибольшего общего делителя (НОД)
Разложим числа на простые множители и найдём их общую часть:
* **а) 34 и 56**
$34 = 2 \cdot 17$
$56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
Общий множитель: $2$.
$\text{НОД}(34, 56) = 2$
* **б) 45 и 65**
$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$65 = 5 \cdot 13$
Общий множитель: $5$.
$\text{НОД}(45, 65) = 5$
* **в) 102 и 204**
Заметим, что $204 = 102 \cdot 2$, то есть число $204$ делится на $102$ без остатка. Если одно из чисел делится на другое, то меньшее число и есть их наибольший общий делитель.
$\text{НОД}(102, 204) = 102$
* **г) 1005 и 960**
$1005 = 3 \cdot 5 \cdot 67$
$960 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5$
Общие множители: $3$ и $5$.
$\text{НОД}(1005, 960) = 3 \cdot 5 = 15$
---
#### 4. Разложение на простые множители и сравнение
1. Разложим каждое число на простые множители методом деления «в столбик»:
* $1440 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$
* $240 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$
2. Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, разделим большее на меньшее:
$$1440 : 240 = 6 \text{ (раз)}$$
---
#### 5. Значения $m$ для дроби $\frac{m}{15}$
1. Дробь $\frac{m}{15}$ является **правильной**, если числитель строго меньше знаменателя: $m < 15$. Значит, натуральное число $m$ может принимать значения от $1$ до $14$.
2. Числитель $m$ и знаменатель $15$ должны быть взаимно простыми. Знаменатель раскладывается как $15 = 3 \cdot 5$, следовательно, число $m$ **не должно делиться ни на $3$, ни на $5$**.
3. Проверим числа от $1$ до $14$:
* Вычёркиваем числа, делящиеся на $3$: $3, 6, 9, 12$.
* Вычёркиваем числа, делящиеся на $5$: $5, 10$.
4. Оставшиеся значения $m$: **$1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14$**.
ИИ-решебник / §2 / проверочные работы / стр. 54
