Объяснение и пошаговое решение
### Итоговый ответ
**2-ps02 (Задание 4):**
* **а)** Делится. Результат деления: **$3003$**.
* **б)** Не делится.
* **в)** Делится. Результат деления: **$210$**.
* **г)** Не делится.
* **д)** Делится. Результат деления: **$7$**.
* **е)** Не делится.
---
**2-ps03 (Задание 1):**
* **а)** $3; 5$.
* **б)** $2; 7$.
* **в)** $2; 7; 11$.
* **г)** $3; 5; 31$.
**2-ps03 (Задание 2):**
* **а)** $A = \{2\}$
* **б)** $B = \{4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$
* **в)** $C = \{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$
* **г)** $D = \{1\}$
* **д)** $E = \{2\}$
* **е)** $F = \varnothing$ (пустое множество, таких делителей нет)
**2-ps03 (Задание 3):**
Разложения числа $36$ на три множителя, отличных от единицы:
1) $2 \cdot 2 \cdot 9 = 36$
2) $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$
3) $3 \cdot 3 \cdot 4 = 36$
Всего существует **$3$** таких разложения (без учёта порядка множителей).
---
### Подробное объяснение и решение
#### 2-ps02: Задание 4
Исходное делимое представлено в виде произведения простых множителей:
$$N = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$$
Число делится на делитель нацело, если все простые множители делителя входят в состав делимого в степенях, не превышающих степени делимого.
* **а)** Делитель: $2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Все множители есть в делимом.
$$\text{Частное} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}{2 \cdot 2 \cdot 5} = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 21 \cdot 143 = 3003$$
* **б)** Делитель: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$.
В делителе множитель $3$ встречается дважды ($3^2$), а в делимом — только один раз. **Не делится нацело**.
* **в)** Делитель: $22 \cdot 13 = (2 \cdot 11) \cdot 13 = 2 \cdot 11 \cdot 13$.
Все множители есть в делимом.
$$\text{Частное} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}{2 \cdot 11 \cdot 13} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$$
* **г)** Делитель: $2^2 \cdot 7 \cdot 11^2$.
Множитель $11$ в делителе во второй степени ($11^2$), а в делимом — в первой ($11^1$). **Не делится нацело**.
* **д)** Делитель: $4 \cdot 15 \cdot 143 = (2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (11 \cdot 13) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$.
Все множители присутствуют.
$$\text{Частное} = \frac{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13} = 7$$
* **е)** Делитель: $60 \cdot 11 \cdot 143 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot 11 \cdot (11 \cdot 13) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^2 \cdot 13$.
Множитель $11$ входит в делитель дважды ($11^2$), а в делимом он один. **Не делится нацело**.
---
#### 2-ps03: Задание 1
Разложим числа на простые множители, чтобы найти их простые делители:
* **а)** $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 \implies$ простые делители: **$3$ и $5$**.
* **б)** $56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7 \implies$ простые делители: **$2$ и $7$**.
* **в)** $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \implies$ простые делители: **$2$, $7$ и $11$**.
* **г)** $1395 = 5 \cdot 279 = 5 \cdot 9 \cdot 31 = 3^2 \cdot 5 \cdot 31 \implies$ простые делители: **$3$, $5$ и $31$**.
---
#### 2-ps03: Задание 2
Разложим число $512$ на простые множители: $512 = 2^9$.
Все делители числа $512$ — это степени двойки от $2^0$ до $2^9$:
$$1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512$$
* **а) Множество $A$ (простые делители):** простым числом является только $2$.
$A = \{2\}$
* **б) Множество $B$ (составные делители):** все делители, кроме $1$ и $2$.
$B = \{4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$
* **в) Множество $C$ (чётные делители):** все делители, которые делятся на $2$.
$C = \{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$
* **г) Множество $D$ (нечётные делители):** единственный нечётный делитель — это $1$.
$D = \{1\}$
* **д) Множество $E$ (простые чётные делители):** число $2$.
$E = \{2\}$
* **е) Множество $F$ (составные нечётные делители):** таких делителей нет (число $1$ не является составным).
$F = \varnothing$
---
#### 2-ps03: Задание 3
Разложим число $36$ на простые множители:
$$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$$
Чтобы получить три множителя, каждый из которых больше $1$, сгруппируем любые два простых множителя из четырёх:
1. Объединяем $3 \cdot 3 = 9$: получаем множители **$2, 2, 9$** ($2 \cdot 2 \cdot 9 = 36$).
2. Объединяем $2 \cdot 3 = 6$: получаем множители **$2, 3, 6$** ($2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$).
3. Объединяем $2 \cdot 2 = 4$: получаем множители **$3, 3, 4$** ($3 \cdot 3 \cdot 4 = 36$).
Других комбинаций без использования единицы составить нельзя. Получаем ровно **$3$ разложения**.
ИИ-решебник / §2 / проверочные работы / стр. 50
