ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 2 - 142

1) $(2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2) + 3x(3x - 1)(3x + 1) = x$ Применим формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ к произведению $(2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2)$: $$ (2 - 3x)(2^2 + 2 \cdot 3x + (3x)^2) = 2^3 - (3x)^3 = 8 - 27x^3 $$ Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ к произведению $(3x - 1)(3x + 1)$: $$ (3x - 1)(3x + 1) = (3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1 $$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$ 8 - 27x^3 + 3x(9x^2 - 1) = x $$ Раскроем скобки: $$ 8 - 27x^3 + 27x^3 - 3x = x $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 8 - 3x = x $$ Перенесем слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а свободные слагаемые — в правую: $$ -3x - x = -8 $$ $$ -4x = -8 $$ Разделим обе части уравнения на $-4$: $$ x = -8 : (-4) $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $2$. --- 2) $27\left(\frac{1}{3}x - 1\right)\left(\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{3}x + 1\right) - x(x - 1)^2 = 2x^2$ Применим формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ к выражению $\left(\frac{1}{3}x - 1\right)\left(\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{3}x + 1\right)$: $$ \left(\frac{1}{3}x - 1\right)\left(\left(\frac{1}{3}x\right)^2 + \frac{1}{3}x \cdot 1 + 1^2\right) = \left(\frac{1}{3}x\right)^3 - 1^3 = \frac{1}{27}x^3 - 1 $$ Умножим полученный двучлен на $27$: $$ 27\left(\frac{1}{27}x^3 - 1\right) = 27 \cdot \frac{1}{27}x^3 - 27 \cdot 1 = x^3 - 27 $$ Раскроем квадрат разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 $$ Тогда: $$ x(x - 1)^2 = x(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x $$ Подставим преобразованные выражения в уравнение: $$ (x^3 - 27) - (x^3 - 2x^2 + x) = 2x^2 $$ Раскроем скобки, учитывая знак минус: $$ x^3 - 27 - x^3 + 2x^2 - x = 2x^2 $$ Приведем подобные слагаемые в левой части: $$ 2x^2 - x - 27 = 2x^2 $$ Вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения: $$ -x - 27 = 0 $$ $$ -x = 27 $$ Умножим обе части на $-1$: $$ x = -27 $$ Ответ: $-27$.