ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 3 - 63

При решении используются свойства степеней: - при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^n \cdot a^m = a^{n + m}$; - при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $a^n : a^m = a^{n - m}$; - при возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$. 1) Применим правило возведения степени в степень, а затем выполним деление: $$ 3^{16} : (3^5)^3 = 3^{16} : 3^{5 \cdot 3} = 3^{16} : 3^{15} = 3^{16 - 15} = 3^1 = 3 $$ 2) Возведём степени в степень и выполним деление: $$ (5^7)^3 : (5^4)^5 = 5^{7 \cdot 3} : 5^{4 \cdot 5} = 5^{21} : 5^{20} = 5^{21 - 20} = 5^1 = 5 $$ 3) Сначала возведём степень в степень, затем перемножим и разделим степени с основанием $6$: $$ 6^8 \cdot (6^5)^4 : 6^{25} = 6^8 \cdot 6^{5 \cdot 4} : 6^{25} = 6^8 \cdot 6^{20} : 6^{25} = 6^{8 + 20} : 6^{25} = 6^{28} : 6^{25} = 6^{28 - 25} = 6^3 = 216 $$ 4) Представим число $49$ как степень с основанием $7$ ($49 = 7^2$): $$ 49^2 : 7^3 = (7^2)^2 : 7^3 = 7^{2 \cdot 2} : 7^3 = 7^4 : 7^3 = 7^{4 - 3} = 7^1 = 7 $$ 5) Учтём, что $8 = 8^1$. Упростим отдельно числитель и знаменатель дроби: $$ \frac{8^{14} \cdot (8^4)^6}{(8^5)^7 \cdot 8} = \frac{8^{14} \cdot 8^{4 \cdot 6}}{8^{5 \cdot 7} \cdot 8^1} = \frac{8^{14} \cdot 8^{24}}{8^{35} \cdot 8^1} = \frac{8^{14 + 24}}{8^{35 + 1}} = \frac{8^{38}}{8^{36}} = 8^{38 - 36} = 8^2 = 64 $$ 6) Приведём степени в числителе к основанию $3$, так как $9 = 3^2$, а $81 = 3^4$: $$ \frac{9^5 \cdot 81^6}{3^{30}} = \frac{(3^2)^5 \cdot (3^4)^6}{3^{30}} = \frac{3^{2 \cdot 5} \cdot 3^{4 \cdot 6}}{3^{30}} = \frac{3^{10} \cdot 3^{24}}{3^{30}} = \frac{3^{10 + 24}}{3^{30}} = \frac{3^{34}}{3^{30}} = 3^{34 - 30} = 3^4 = 81 $$ **Ответ:** 1) $3^1 = 3$; 2) $5^1 = 5$; 3) $6^3 = 216$; 4) $7^1 = 7$; 5) $8^2 = 64$; 6) $3^4 = 81$.