ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 3 - 64

1) Воспользуемся свойством степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ и свойством частного степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$ \frac{5^9 \cdot 13^9}{65^8} = \frac{(5 \cdot 13)^9}{65^8} = \frac{65^9}{65^8} = 65^{9-8} = 65^1 = 65 $$ Ответ: $65$. 2) Преобразуем знаменатель, применив свойство степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $$ \frac{24^7}{8^6 \cdot 3^6} = \frac{24^7}{(8 \cdot 3)^6} = \frac{24^7}{24^6} = 24^{7-6} = 24^1 = 24 $$ Ответ: $24$. 3) Разложим основание степени в знаменателе на множители $44 = 4 \cdot 11$ и применим свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $$ \frac{4^{10} \cdot 11^8}{44^8} = \frac{4^{10} \cdot 11^8}{(4 \cdot 11)^8} = \frac{4^{10} \cdot 11^8}{4^8 \cdot 11^8} $$ Сократим дробь на $11^8$ и выполним деление степеней с основанием $4$: $$ \frac{4^{10}}{4^8} = 4^{10-8} = 4^2 = 16 $$ Ответ: $16$. 4) Представим $15$ в числителе как произведение $3 \cdot 5$: $$ \frac{15^{12}}{3^{12} \cdot 5^{10}} = \frac{(3 \cdot 5)^{12}}{3^{12} \cdot 5^{10}} = \frac{3^{12} \cdot 5^{12}}{3^{12} \cdot 5^{10}} $$ Сократим дробь на $3^{12}$ и применим свойство деления степеней: $$ \frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^{12-10} = 5^2 = 25 $$ Ответ: $25$. 5) Разложим основание $72$ на простые множители: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$. Возведем полученное произведение в 6-ю степень: $$ 72^6 = (2^3 \cdot 3^2)^6 = (2^3)^6 \cdot (3^2)^6 = 2^{3 \cdot 6} \cdot 3^{2 \cdot 6} = 2^{18} \cdot 3^{12} $$ Подставим полученное выражение в знаменатель и сократим дробь: $$ \frac{2^{20} \cdot 3^{11}}{72^6} = \frac{2^{20} \cdot 3^{11}}{2^{18} \cdot 3^{12}} = \frac{2^{20-18}}{3^{12-11}} = \frac{2^2}{3^1} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Ответ: $1\frac{1}{3}$. 6) Разложим основания степеней $24$ и $18$ на простые множители: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$. Возведем множители в степени: $$ 24^3 = (2^3 \cdot 3)^3 = (2^3)^3 \cdot 3^3 = 2^9 \cdot 3^3 $$ $$ 18^4 = (2 \cdot 3^2)^4 = 2^4 \cdot (3^2)^4 = 2^4 \cdot 3^8 $$ Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим ее: $$ \frac{24^3}{18^4} = \frac{2^9 \cdot 3^3}{2^4 \cdot 3^8} = \frac{2^{9-4}}{3^{8-3}} = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243} $$ Ответ: $\frac{32}{243}$.