ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 3 - 87

*Примечание:* в условии содержится опечатка в обозначении первого числа (записано $\overline{ca}$ вместо $\overline{ba}$). Для трёх различных цифр $a$, $b$ и $c$ утверждение в общем случае неверно (например, при $c = 2$, $a = 1$, $b = 3$ разность $\overline{ca} - \overline{ab} = 21 - 13 = 8$, что не делится на 9). Задание рассматривает взаимно обратные двузначные числа $\overline{ba}$ и $\overline{ab}$. Представим двузначные числа $\overline{ba}$ и $\overline{ab}$ в виде суммы разрядных слагаемых: $$ \overline{ba} = 10b + a $$ $$ \overline{ab} = 10a + b $$ где $a$ и $b$ — цифры, причём $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Составим разность этих чисел: $$ \overline{ba} - \overline{ab} = (10b + a) - (10a + b) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ \overline{ba} - \overline{ab} = 10b + a - 10a - b = 9b - 9a $$ Вынесем общий множитель 9 за скобки: $$ 9b - 9a = 9(b - a) $$ Поскольку $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа (цифры), их разность $(b - a)$ также является целым числом. Так как один из множителей произведения $9(b - a)$ равен 9, то и всё произведение делится нацело на 9. Аналогично, если рассматривать разность в обратном порядке: $$ \overline{ab} - \overline{ba} = 9(a - b) $$ данное выражение также кратно 9. Что и требовалось доказать.