ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 555

Пусть первая цифра большего двузначного числа равна $a$, а вторая цифра равна $b$. Тогда само число можно записать как $\overline{ab} = 10a + b$, а второе число, записанное теми же цифрами, — как $\overline{ba} = 10b + a$. Поскольку числа двузначные, $a$ и $b$ — натуральные цифры от $1$ до $9$, причём $a > b$. По условию задачи разность квадратов этих чисел равна $693$: $$ (10a + b)^2 - (10b + a)^2 = 693 $$ Применим формулу разности квадратов двух выражений: $$ ((10a + b) - (10b + a))((10a + b) + (10b + a)) = 693 $$ Упростим выражение в каждой скобке: $$ (10a + b - 10b - a)(10a + b + 10b + a) = 693 $$ $$ (9a - 9b)(11a + 11b) = 693 $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ 9(a - b) \cdot 11(a + b) = 693 $$ $$ 99(a - b)(a + b) = 693 $$ Разделим обе части уравнения на $99$: $$ (a - b)(a + b) = 7 $$ Так как $a$ и $b$ — цифры и $a > b$, то суммы $(a + b)$ и $(a - b)$ являются натуральными числами, причём $(a + b) > (a - b)$. Число $7$ является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух натуральных множителей единственным способом: $7 = 7 \cdot 1$. Отсюда получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} a + b = 7 \\ a - b = 1 \end{cases} $$ Сложим уравнения почленно: $$ (a + b) + (a - b) = 7 + 1 $$ $$ 2a = 8 $$ $$ a = 4 $$ Подставим значение $a = 4$ в первое уравнение: $$ 4 + b = 7 $$ $$ b = 3 $$ Таким образом, искомые цифры — $4$ и $3$. Сами двузначные числа — $43$ и $34$. Проверка: $43^2 - 34^2 = 1849 - 1156 = 693$. Ответ: 43 и 34.