ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 552

1) Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$, тогда следующее за ним число равно $n + 1$. Составим разность квадратов этих чисел (из квадрата большего числа вычтем квадрат меньшего): $$ (n + 1)^2 - n^2 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ (n + 1)^2 - n^2 = ((n + 1) - n)((n + 1) + n) = 1 \cdot (n + 1 + n) = (n + 1) + n $$ Сумма этих же двух чисел равна $n + (n + 1)$. Так как разность квадратов $(n + 1)^2 - n^2 = n + (n + 1)$, то разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел, что и требовалось доказать. 2) Пусть меньшее из двух последовательных чётных чисел равно $2n$, тогда следующее чётное число равно $2n + 2$, где $n$ — натуральное число. Составим разность квадратов большего и меньшего чисел: $$ (2n + 2)^2 - (2n)^2 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ (2n + 2)^2 - (2n)^2 = ((2n + 2) - 2n)((2n + 2) + 2n) = 2 \cdot (4n + 2) $$ Вынесем общий множитель 2 из скобки: $$ 2 \cdot 2(2n + 1) = 4(2n + 1) $$ Так как один из множителей полученного произведения равен 4, то и всё выражение $4(2n + 1)$ делится нацело на 4. Следовательно, разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 4, что и требовалось доказать.