ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 551

Для доказательства воспользуемся формулой разности квадратов: $$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $$ 1) Разложим выражение $(5n + 4)^2 - (5n - 4)^2$ на множители: $$ (5n + 4)^2 - (5n - 4)^2 = ((5n + 4) - (5n - 4))((5n + 4) + (5n - 4)) $$ Раскроем внутренние скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (5n + 4 - 5n + 4)(5n + 4 + 5n - 4) = 8 \cdot 10n = 80n $$ Так как $n$ — натуральное число, то число $80n$ содержит множитель 80, а значит, делится на 80 при любом натуральном $n$. 2) Разложим выражение $(9n + 10)^2 - (9n + 8)^2$ на множители: $$ (9n + 10)^2 - (9n + 8)^2 = ((9n + 10) - (9n + 8))((9n + 10) + (9n + 8)) $$ Раскроем внутренние скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (9n + 10 - 9n - 8)(9n + 10 + 9n + 8) = 2 \cdot (18n + 18) $$ Вынесем общий множитель 18 из второй скобки: $$ 2 \cdot 18(n + 1) = 36(n + 1) $$ Так как $n$ — натуральное число, число $(n + 1)$ является натуральным. Полученное произведение содержит множитель 36, следовательно, выражение делится на 36 при любом натуральном $n$. 3) Разложим выражение $(10n + 2)^2 - (4n - 10)^2$ на множители: $$ (10n + 2)^2 - (4n - 10)^2 = ((10n + 2) - (4n - 10))((10n + 2) + (4n - 10)) $$ Раскроем внутренние скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (10n + 2 - 4n + 10)(10n + 2 + 4n - 10) = (6n + 12)(14n - 8) $$ Вынесем общие множители из каждой скобки (6 из первой и 2 из второй): $$ 6(n + 2) \cdot 2(7n - 4) = 12(n + 2)(7n - 4) $$ Так как $n$ — натуральное число, выражение $(n + 2)(7n - 4)$ принимает целые значения. Произведение содержит числовой множитель 12, следовательно, исходное выражение делится на 12 при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.