ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 696

Любое натуральное число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Так как по условию ни одно из двух последовательных натуральных чисел не кратно 3, то меньшее из них при делении на 3 даёт остаток 1, а следующее за ним — остаток 2. Следовательно, эти числа можно записать в виде: $a = 3k + 1$ и $b = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Запишем сумму кубов этих чисел: $$ a^3 + b^3 = (3k + 1)^3 + (3k + 2)^3 $$ Воспользуемся формулой суммы кубов: $$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $$ 1) Найдём сумму чисел $(a + b)$: $$ a + b = (3k + 1) + (3k + 2) = 6k + 3 = 3(2k + 1) $$ 2) Найдём неполный квадрат их разности $(a^2 - ab + b^2)$: $$ a^2 - ab + b^2 = (3k + 1)^2 - (3k + 1)(3k + 2) + (3k + 2)^2 $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 $$ $$ (3k + 1)(3k + 2) = 9k^2 + 6k + 3k + 2 = 9k^2 + 9k + 2 $$ $$ (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 $$ $$ a^2 - ab + b^2 = (9k^2 + 6k + 1) - (9k^2 + 9k + 2) + (9k^2 + 12k + 4) $$ $$ = 9k^2 + 6k + 1 - 9k^2 - 9k - 2 + 9k^2 + 12k + 4 $$ $$ = 9k^2 + 9k + 3 = 3(3k^2 + 3k + 1) $$ 3) Подставим полученные множители в формулу суммы кубов: $$ (3k + 1)^3 + (3k + 2)^3 = 3(2k + 1) \cdot 3(3k^2 + 3k + 1) = 9(2k + 1)(3k^2 + 3k + 1) $$ Так как $k$ — целое неотрицательное число, то выражение $(2k + 1)(3k^2 + 3k + 1)$ является целым числом. Произведение содержит множитель 9, следовательно, вся сумма делится на 9 без остатка при любом целом неотрицательном $k$. Что и требовалось доказать.