ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 752

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что значение данного произведения является нечётным числом: $$ (x_1 - y_1)(x_2 - y_2)\dots(x_{25} - y_{25}) $$ Произведение целых чисел нечётно тогда и только тогда, когда каждый множитель в нём является нечётным числом. Значит, все $25$ разностей $(x_1 - y_1), (x_2 - y_2), \dots, (x_{25} - y_{25})$ должны быть нечётными числами. Рассмотрим сумму всех этих $25$ множителей: $$ S = (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2) + \dots + (x_{25} - y_{25}) $$ 1. С одной стороны, число слагаемых равно $25$ (нечётное количество). Сумма нечётного количества нечётных чисел всегда нечётна, следовательно, значение суммы $S$ должно быть нечётным числом. 2. С другой стороны, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: $$ S = (x_1 + x_2 + \dots + x_{25}) - (y_1 + y_2 + \dots + y_{25}) $$ Так как набор чисел $y_1, y_2, \dots, y_{25}$ состоит из тех же самых чисел, что и набор $x_1, x_2, \dots, x_{25}$, только записанных в другом порядке, то их суммы равны: $$ x_1 + x_2 + \dots + x_{25} = y_1 + y_2 + \dots + y_{25} $$ Отсюда следует: $$ S = 0 $$ Число $0$ является чётным числом. Мы получили противоречие: сумма $S$ одновременно должна быть нечётной и равна чётному числу $0$. Значит, наше предположение неверно, и среди данных $25$ множителей обязательно найдётся хотя бы один чётный. Если хотя бы один из множителей чётный, то и всё произведение является чётным числом, что и требовалось доказать.