ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 905

Чтобы доказать, что при любом значении $x$ значение первого выражения больше значения второго, оценим значения каждого из этих выражений. 1. Рассмотрим выражение $|x| - x$. По определению модуля числа: * если $x \ge 0$, то $|x| = x$, откуда: $$ |x| - x = x - x = 0 $$ * если $x < 0$, то $|x| = -x$, откуда: $$ |x| - x = -x - x = -2x $$ Так как $x < 0$, то произведение $-2x > 0$. Значит, при любом значении $x$ выполняется неравенство: $$ |x| - x \ge 0 $$ 2. Преобразуем второе выражение $2x - x^2 - 2$, выделив квадрат двучлена: $$ 2x - x^2 - 2 = -(x^2 - 2x + 2) = -(x^2 - 2x + 1 + 1) = -((x - 1)^2 + 1) = -(x - 1)^2 - 1 $$ Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то $(x - 1)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Следовательно: $$ -(x - 1)^2 \le 0 $$ $$ -(x - 1)^2 - 1 \le -1 $$ Таким образом, значение выражения $2x - x^2 - 2$ при любом значении $x$ не превосходит $-1$, то есть всегда является отрицательным числом: $$ 2x - x^2 - 2 \le -1 < 0 $$ 3. Сравним полученные результаты: Так как $|x| - x \ge 0$, а $2x - x^2 - 2 < 0$, то при любом значении $x$: $$ |x| - x > 2x - x^2 - 2 $$ Что и требовалось доказать.