В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, угол B равен 76°. Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке M. Найдите величину угла AMC.

### Решение задачи №10 1. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), углы при основании $A$ и $C$ равны: $\angle A = \angle C = (180^\circ - 76^\circ) / 2 = 104^\circ / 2 = 52^\circ$. 2. $AM$ и $CM$ — биссектрисы, значит, в треугольнике $AMC$ углы $\angle MAC$ и $\angle MCA$ равны половине углов при основании треугольника $ABC$: $\angle MAC = 52^\circ / 2 = 26^\circ$; $\angle MCA = 52^\circ / 2 = 26^\circ$. 3. Сумма углов треугольника $AMC$ равна $180^\circ$: $\angle AMC = 180^\circ - (26^\circ + 26^\circ) = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$. **Ответ: 128** ### Решение задачи №11 1. Диаметры $AB$ и $CD$ пересекаются в центре окружности $O$. Углы $\angle BOD$ и $\angle AOC$ — вертикальные, значит, $\angle AOC = \angle BOD = 150^\circ$. 2. Рассмотрим треугольник $AOD$. Стороны $OA$ и $OD$ являются радиусами одной окружности, поэтому $OA = OD$. Значит, треугольник $AOD$ равнобедренный. 3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Угол при вершине $\angle AOD$ смежный с $\angle BOD$: $\angle AOD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. 4. Углы при основании $\angle OAD$ (то есть $\angle ADO$): $\angle ADO = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ$. **Ответ: 75** ### Решение задачи №12 1. Пусть $BE$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B$. По условию $BE \parallel AC$. 2. Угол $\angle CBE$ — внешний угол, его биссектриса делит его на две равные части: $\angle EBC = \angle ABE = (180^\circ - 36^\circ) / 2 = 144^\circ / 2 = 72^\circ$. 3. Так как $BE \parallel AC$, то накрест лежащие углы при секущей $AB$ равны: $\angle ABE = \angle CAB = 72^\circ$. **Ответ: 72**