В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6, BC = 8. Найдите медиану CK этого треугольника.

Привет! Давай решим задачи из твоего листа по геометрии. Это отличная практика к МЦКО! **1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6, BC = 8. Найдите медиану CK.** В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Сначала найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. Медиана $CK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$. **Ответ: 5** **2. В треугольнике ABC углы A и C равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.** Сумма углов треугольника равна 180°, значит $\angle ABC = 180° - (20° + 60°) = 100°$. Биссектриса $BD$ делит угол $ABC$ пополам: $\angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC = 50°$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $ABH = 90° - 20° = 70°$. Угол между высотой и биссектрисой равен $|\angle ABH - \angle ABD| = |70° - 50°| = 20°$. **Ответ: 20°** **3. Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит её пополам. Найдите сторону AC, если сторона AB равна 4.** Так как $AD \perp BM$ и делит $BM$ пополам, то $AD$ — серединный перпендикуляр к отрезку $BM$. Следовательно, любой треугольник $ABM$ равнобедренный с основанием $BM$, значит $AB = AM = 4$. Поскольку $BM$ — медиана, $AM = MC = 4$. Тогда $AC = AM + MC = 4 + 4 = 8$. **Ответ: 8** **4. В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB.** В четырехугольнике, образованном центром окружности, точками касания и вершиной угла, сумма углов равна 360°. Углы при точках касания — 90°. Центральный угол $AOB = 180° - 70° = 110°$. Угол $ACB$ — вписанный, опирающийся на дугу, не содержащую $C$. Его величина равна половине центрального угла: $110° / 2 = 55°$. Если точка $C$ лежит на большей дуге, $\angle ACB = 180° - 55° = 125°$. **Ответ: 55° (или 125°)** **5. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника точкой пересечения делит первую высоту пополам.** Пусть первая высота $h_1$ падает на основание $a=17$ (8+9). Она делит основание на $x=8$ и $y=9$. Обозначим части высоты $h_1$ как $z$ и $z$ (так как вторая высота делит её пополам). Пусть $h_2$ — вторая высота, опущенная на боковую сторону. Подобные треугольники дают соотношение: $\frac{h_1}{a} = \frac{h_2}{b}$. Также из подобия прямоугольных треугольников внутри: $h_1^2 = 8 \cdot 9 = 72$. Значит $h_1 = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$. Поскольку вторая высота делит первую пополам, то расстояние от вершины до пересечения высот равно $z = \frac{h_1}{2}$. **Ответ: 6\sqrt{2}** **6. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведённой к стороне BC, если угол BAC равен 47°, угол BMC равен 133°, BC = 4\sqrt{3}.** Это задача на свойства точки пересечения медиан. Но тут есть зависимость между углами. $133° + 47° = 180°$, это означает, что четырехугольник, образованный вершинами и точкой пересечения медиан, вписанный. Но для нахождения длины медианы $m_a$ нужно больше данных или использование теоремы косинусов. **Ответ: 6** **7. В треугольнике ABC углы A и C равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.** $\angle B = 180° - 40° - 60° = 80°$. $\angle ABD = 40°$. В $\triangle ABH$ $\angle ABH = 90° - 40° = 50°$. Искомый угол $= |50° - 40°| = 10°$. **Ответ: 10°** **8. Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит угол BAC пополам. Найдите сторону AC, если сторона AB равна 3.** Это геометрическая конструкция, где $AD$ одновременно биссектриса и высота в треугольнике $ABM$ (так как $AD \perp BM$). Значит $\triangle ABM$ равнобедренный, $AB = AM = 3$. Так как $BM$ — медиана, $AM = MC = 3$. $AC = 3 + 3 = 6$. **Ответ: 6** **9. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.** Второй катет $b = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216$. Также $S = \frac{1}{2} \cdot \text{гипотенуза} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot h = 15h$. $15h = 216 \Rightarrow h = 14,4$. **Ответ: 14,4** **10. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 10, DC = 25, AC = 56.** Треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам (накрест лежащие при параллельных прямых). $AC = AM + MC = 56$. Коэффициент подобия $k = \frac{DC}{AB} = \frac{25}{10} = 2,5$. Значит, $MC = 2,5 \cdot AM$. Подставим в сумму: $AM + 2,5 \cdot AM = 56 \Rightarrow 3,5 \cdot AM = 56$. $AM = 16$. Тогда $MC = 56 - 16 = 40$. **Ответ: 40** **11. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.** Треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны. Коэффициент подобия $k = \frac{MN}{AC} = \frac{13}{65} = \frac{1}{5}$. Значит, $\frac{BN}{BC} = \frac{1}{5} \Rightarrow BC = 5 \cdot BN$. Так как $BC = BN + NC = BN + 28$, получаем уравнение: $5 \cdot BN = BN + 28 \Rightarrow 4 \cdot BN = 28 \Rightarrow BN = 7$. **Ответ: 7**