10.52. Найти корреляционную функцию Rη(τ) процесса η(t) на выходе фильтра, схема которого представлена на рис. 10.38, выразив ее через корреляционную функцию Rξ(τ) стационарного случайного процесса ξ(t) на входе.

Для решения задачи 10.52 проанализируем схему фильтра на рис. 10.38. Фильтр состоит из двух последовательно соединенных звеньев. Каждое звено реализует операцию вида $y(t) = x(t) - x(t - T)$, где $x$ — входной сигнал, а $T$ — время задержки. 1. Пусть сигнал на входе равен $\xi(t)$. Тогда сигнал на выходе первого звена будет: $\eta_1(t) = \xi(t) - \xi(t - T)$. 2. Сигнал на выходе второго звена (он же выход всего фильтра $\eta(t)$) будет: $\eta(t) = \eta_1(t) - \eta_1(t - T) = (\xi(t) - \xi(t - T)) - (\xi(t - T) - \xi(t - 2T)) = \xi(t) - 2\xi(t - T) + \xi(t - 2T)$. Теперь найдем корреляционную функцию выхода $R_{\eta}(\tau) = M[\eta(t)\eta(t + \tau)]$. Подставим выражение для $\eta(t)$ и $\eta(t + \tau)$: $R_{\eta}(\tau) = M[(\xi(t) - 2\xi(t - T) + \xi(t - 2T)) \cdot (\xi(t + \tau) - 2\xi(t + \tau - T) + \xi(t + \tau - 2T))]$. Раскрывая скобки с учетом того, что $M[\xi(t)\xi(t + \Delta)] = R_{\xi}(\Delta)$, получаем сумму 9 слагаемых: $R_{\eta}(\tau) = R_{\xi}(\tau) - 2R_{\xi}(\tau + T) + R_{\xi}(\tau + 2T) - 2R_{\xi}(\tau - T) + 4R_{\xi}(\tau) - 2R_{\xi}(\tau - T) + R_{\xi}(\tau - 2T) - 2R_{\xi}(\tau - T) + R_{\xi}(\tau)$. Приводя подобные слагаемые: - Коэффициенты при $R_{\xi}(\tau)$: $1 + 4 + 1 = 6$. - Коэффициенты при $R_{\xi}(\tau - T)$ и $R_{\xi}(\tau + T)$: $-2 - 2 = -4$. - Коэффициенты при $R_{\xi}(\tau - 2T)$ и $R_{\xi}(\tau + 2T)$: $1$. Итоговое выражение: $R_{\eta}(\tau) = 6R_{\xi}(\tau) - 4R_{\xi}(\tau - T) - 4R_{\xi}(\tau + T) + R_{\xi}(\tau - 2T) + R_{\xi}(\tau + 2T)$. (Примечание: в условии задачи на изображении приведена формула с ошибкой в коэффициенте $R_{\xi}(\tau)$, там указано 1 вместо 6).