На рисунке отрезок РТ параллелен стороне AD, луч РК является биссектрисой угла СРТ. Найдите величину угла РКТ.

### Решение задачи 4 1. Дано: $PT \parallel AD$, $PK$ — биссектриса угла $\angle CPT$, $\angle A = 40^\circ$, $\angle D = 80^\circ$ (из рисунка). 2. Так как $PT \parallel AD$, то углы при параллельных прямых равны: - $\angle CPT = \angle A = 40^\circ$ (как соответственные при параллельных прямых $PT$ и $AD$ и секущей $AC$). - $\angle TPC = \angle ADC = 80^\circ$ (это неверно, на рисунке углы $\angle A$ и $\angle D$ при вершинах треугольника $ADC$). - Давайте точнее: $\triangle ADC$ с $\angle A = 40^\circ$ и $\angle D = 80^\circ$. Тогда $\angle C = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ$. - Так как $PT \parallel AD$, $\triangle PTC \sim \triangle ADC$. Углы $\triangle PTC$ равны углам $\triangle ADC$: $\angle PTC = 80^\circ$, $\angle C = 60^\circ$, $\angle CPT = 40^\circ$. 3. $PK$ — биссектриса $\angle CPT$, значит $\angle CPK = \angle KPT = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$. 4. В $\triangle PTC$ сумма углов $180^\circ$. Рассмотрим $\triangle PKT$: $\angle KPT = 20^\circ$, $\angle T = 80^\circ$ (как $\angle PTC$). Тогда $\angle PKT = 180^\circ - 80^\circ - 20^\circ = 80^\circ$. **Ответ: 80°** ### Решение задачи 5 1. Дано: $K$ — середина $AD$ и $BC$. Значит $AK = KD$ и $BK = KC$. 2. Рассмотрим $\triangle AKB$ и $\triangle DKC$: - $AK = KD$ (по условию). - $BK = KC$ (по условию). - $\angle AKB = \angle DKC$ (как вертикальные углы). 3. Следовательно, $\triangle AKB = \triangle DKC$ по первому признаку (две стороны и угол между ними). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle KAB = \angle KDC$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB, CD$ и секущей $AD$. Так как накрест лежащие углы равны, то $AB \parallel CD$. **Что и требовалось доказать.**