Допущение: Восстановлен пропущенный текст в заданиях 1-5 на основе базовых школьных теорем геометрии.

Вот ответы на задания из учебника: **Задание 31. Проверьте себя.** 1) Если **две** стороны и угол **между ними** одного треугольника соответственно равны **двум** сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники **равны**. 2) В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат **равные стороны**. 3) В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат **равные углы**. 4) Первый признак равенства треугольников — это признак по **двум сторонам и углу между ними**. 5) Чтобы доказать, что два угла равны, необходимо доказать, что равны **треугольники,** содержащие эти углы. **Определите, верно ли утверждение.** 6) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. — **Нет** (не указано, что угол между ними). 7) Если один из равных треугольников содержит прямой угол, то второй треугольник также содержит прямой угол. — **Да**. 8) В равных треугольниках соответственно углы равны. — **Да**. 9) В равных треугольниках углы, лежащие против соответственно равных сторон, равны. — **Да**. 10) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то для равенства этих треугольников необходимо также равенство углов между этими сторонами. — **Да**. 11) Если два равных треугольника содержат угол 50°, то стороны этих треугольников, лежащие против этих углов, равны. — **Да**. 12) В равных треугольниках соответственно стороны равны. — **Да**. **Используя данные рисунка:** 13) **Доказательство:** Рассмотрим $\Delta TKO$ и $\Delta LMO$. - $TK = LM$ (по условию на рисунке — одинаковые насечки). - $KO = MO$ (по условию на рисунке — одинаковые насечки). - $\angle TOK = \angle LOM$ (как вертикальные углы). Следовательно, $\Delta TKO = \Delta LMO$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 14) **Доказательство:** Рассмотрим $\Delta ABD$ и $\Delta CBD$. - $AB = CB$ (по условию на рисунке — одинаковые насечки). - $AD = CD$ (по условию на рисунке — одинаковые насечки). - $BD$ — общая сторона. Следовательно, $\Delta ABD = \Delta CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует, что $\angle ABD = \angle CBD$. 15) **Решение:** Рассмотрим $\Delta PQS$ и $\Delta RQS$. - $PQ = RQ$ (по условию на рисунке — одинаковые насечки). - $PS = RS$ (по условию на рисунке — одинаковые насечки). - $QS$ — общая сторона. Следовательно, $\Delta PQS = \Delta RQS$ по третьему признаку равенства треугольников. Так как треугольники равны, то все их соответствующие элементы равны. Значит, сторона $QS$ является общей, но для нахождения её длины недостаточно данных (в условии указана сторона $PR = 12$ см, которая является основанием равнобедренного треугольника, но $QS$ — это медиана/высота/биссектриса, данных для её вычисления через Пифагора нет без высоты или углов). Однако, если задача подразумевает, что $QS$ симметрична, то $QS$ делит $PR$ пополам. Но точного числового ответа без дополнительных данных дать нельзя.