Вычислить интеграл: \int_{-2}^{2} (x^3 \cos(\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) \sqrt{4-x^2} dx

Для решения этого интеграла $\int_{-2}^{2} \left(x^3 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\right) \sqrt{4-x^2} \, dx$ удобно разбить его на сумму двух интегралов: $I = \int_{-2}^{2} x^3 \cos\left(\frac{x}{2}\right) \sqrt{4-x^2} \, dx + \int_{-2}^{2} \frac{1}{2} \sqrt{4-x^2} \, dx$ 1. Рассмотрим первый интеграл $I_1 = \int_{-2}^{2} x^3 \cos\left(\frac{x}{2}\right) \sqrt{4-x^2} \, dx$. Функция $f(x) = x^3 \cos\left(\frac{x}{2}\right) \sqrt{4-x^2}$ является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^3 \cos\left(\frac{-x}{2}\right) \sqrt{4-(-x)^2} = -x^3 \cos\left(\frac{x}{2}\right) \sqrt{4-x^2} = -f(x)$. Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку $[-a, a]$ равен нулю. Значит, $I_1 = 0$. 2. Рассмотрим второй интеграл $I_2 = \int_{-2}^{2} \frac{1}{2} \sqrt{4-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} \, dx$. Интеграл $\int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} \, dx$ представляет собой площадь полукруга радиуса $R=2$. Площадь полного круга $S = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$. Площадь полукруга равна $2\pi$. Следовательно, $I_2 = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$. Итоговый ответ: $\pi$.