13. (3 балла) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 - 6x + 10, прямыми x = -1, x = 3 и осью абсцисс.

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку. ### Задача 13 Найти площадь фигуры, ограниченной $f(x) = x^2 - 6x + 10$, $x = -1$, $x = 3$ и осью абсцисс. Площадь вычисляется через определенный интеграл: $S = \int_{-1}^{3} (x^2 - 6x + 10) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x \right]_{-1}^{3}$ $S = \left( \frac{27}{3} - 3(9) + 10(3) \right) - \left( \frac{-1}{3} - 3(1) + 10(-1) \right)$ $S = (9 - 27 + 30) - (-\frac{1}{3} - 3 - 10) = 12 - (-13\frac{1}{3}) = 12 + 13\frac{1}{3} = 25\frac{1}{3}$. **Ответ: 25,33** ### Задача 14 Найти корни $2 \sin x + \sqrt{2} = 0$, $x \in [0; 2\pi]$. $2 \sin x = -\sqrt{2} \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Решения в общем виде: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$. Для отрезка $[0; 2\pi]$: 1) При $k=1$: $x = -(-\frac{\pi}{4}) + \pi = \frac{5\pi}{4}$ 2) При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ **Ответ: \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}** ### Задача 15 Объем многогранника. Разобьем фигуру на два прямоугольных параллелепипеда. 1. Нижний блок (основание): размеры $4 \times 2 \times 1$. Объем $V_1 = 4 \times 2 \times 1 = 8 \text{ см}^3$. 2. Верхний выступ: размеры $4 \times 1 \times 1$ (если посмотреть на рисунок, длина/ширина сопоставимы с основанием). Объем $V_2 = 4 \times 1 \times 1 = 4 \text{ см}^3$. Общий объем: $8 + 4 = 12 \text{ см}^3$. **Ответ: 12** ### Задача 16 Пусть $v$ — скорость велосипедиста (км/ч), $S = 98$ км. Время туда: $t_1 = \frac{98}{v}$. Время обратно: $t_2 = \frac{98}{v - 7}$ (скорость на 7 км/ч меньше). Известно, что $t_2 = t_1 + 7$ часов (он потратил на 7 часов больше). $\frac{98}{v - 7} - \frac{98}{v} = 7$ Разделим на 7: $\frac{14}{v - 7} - \frac{14}{v} = 1$ $14v - 14(v - 7) = v(v - 7)$ $14v - 14v + 98 = v^2 - 7v$ $v^2 - 7v - 98 = 0$ Корни: $D = 49 - 4(-98) = 49 + 392 = 441 = 21^2$. $v = \frac{7 \pm 21}{2}$. Берем положительный корень: $v = 14$. **Ответ: 14**