4.255. (Т) В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти катеты треугольника.

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных, проведённых к окружности из одной точки: отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$. Вписанная окружность с центром $O$ касается сторон $AC, BC, AB$ в точках $M, N, K$ соответственно. 1. Отрезки касательных от вершин до точек касания: - Пусть от точки касания $K$ на гипотенузе отрезки равны $x = 5$ см и $y = 12$ см. Тогда гипотенуза $c = 5 + 12 = 17$ см. - Отрезки касательных из вершин острых углов к окружности равны $5$ и $12$. Значит, катеты можно выразить как $a = 12 + r$ и $b = 5 + r$, где $r$ — радиус вписанной окружности. - Отрезок касательной от прямого угла $C$ до точек $M$ и $N$ равен $r$ (так как $OMCN$ — квадрат со стороной $r$). 2. Используем теорему Пифагора: $(12 + r)^2 + (5 + r)^2 = 17^2$ $144 + 24r + r^2 + 25 + 10r + r^2 = 289$ $2r^2 + 34r + 169 = 289$ $2r^2 + 34r - 120 = 0$ $r^2 + 17r - 60 = 0$ 3. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 289 + 240 = 529 = 23^2$ $r_1 = (-17 + 23) / 2 = 3$ $r_2 = (-17 - 23) / 2 = -20$ (не подходит по смыслу задачи) 4. Найдем катеты: $a = 12 + 3 = 15$ см $b = 5 + 3 = 8$ см **Ответ: 8 см и 15 см.**