4.257. (Т) В треугольник вписана окружность радиуса 2. Одна из сторон треугольника делится точкой касания на отрезки 7 и 2. Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$, $c$. Точка касания вписанной окружности делит сторону $c$ на отрезки $x=7$ и $y=2$. Тогда длина стороны $c = 7 + 2 = 9$. По свойству отрезков касательных к вписанной окружности, стороны треугольника можно выразить через эти отрезки и расстояние от вершины до центра вписанной окружности (или через полупериметр): $a = y + z = 2 + z$ $b = x + z = 7 + z$ $c = x + y = 9$ Радиус вписанной окружности $r=2$. Площадь треугольника $S = pr$, где $p$ — полупериметр. $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2+z+7+z+9}{2} = \frac{18+2z}{2} = 9+z$. $S = (9+z) \cdot 2 = 18 + 2z$. По формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$: $S = \sqrt{(9+z)(9+z-(2+z))(9+z-(7+z))(9+z-9)}$ $S = \sqrt{(9+z)(7)(2)(z)} = \sqrt{14z(9+z)}$. Приравняем выражения для $S^2$: $(18+2z)^2 = 14z(9+z)$ $4(9+z)^2 = 14z(9+z)$. Так как $9+z \neq 0$, разделим обе части на $2(9+z)$: $2(9+z) = 7z$ $18 + 2z = 7z$ $5z = 18 \implies z = 3.6$. Стороны треугольника: $c = 9$ $a = 2 + 3.6 = 5.6 = \frac{28}{5}$ $b = 7 + 3.6 = 10.6 = \frac{53}{5}$ Радиус описанной окружности $R = \frac{abc}{4S}$. $S = 18 + 2(3.6) = 18 + 7.2 = 25.2 = \frac{126}{5}$. $R = \frac{5.6 \cdot 10.6 \cdot 9}{4 \cdot 25.2} = \frac{534.24}{100.8} = 5.3$. **Ответ: 5.3**