1. Разбейте число 18 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и второго слагаемого было бы наибольшим.

Для решения задач на поиск наибольших и наименьших значений функции на отрезке $[a; b]$ используем стандартный алгоритм: 1. Находим производную функции $f'(x)$. 2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $f'(x) = 0$. 3. Выбираем те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку $[a; b]$. 4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка $f(a)$ и $f(b)$. 5. Выбираем из полученных значений наибольшее и наименьшее. ### Решение задачи 1 Пусть первое слагаемое $x$, тогда второе слагаемое $(18 - x)$. Произведение $P(x) = x(18 - x) = 18x - x^2$. Исследуем на максимум: $P'(x) = 18 - 2x$. Приравняем к 0: $18 - 2x = 0 \implies x = 9$. Так как парабола ветвями вниз, это точка максимума. Слагаемые: 9 и 9. **Ответ: 9 и 9.** ### Решение задач 4.193–4.200 (пример оформления) **4.193. $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ на $[4; 5]$** $y' = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$. Критические точки: $x=2, x=-1$. Обе не входят в $[4; 5]$. Значения на концах: $f(4) = 2(64) - 3(16) - 12(4) + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 33$. $f(5) = 2(125) - 3(25) - 12(5) + 1 = 250 - 75 - 60 + 1 = 116$. Наибольшее: 116, наименьшее: 33. **4.194. $y = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 3$ на $[2; 8]$** $y' = 6x^2 - 30x + 24 = 6(x^2 - 5x + 4) = 6(x-1)(x-4)$. Критические точки: $x=1, x=4$. Входит только $x=4$. $f(2) = 2(8) - 15(4) + 24(2) + 3 = 16 - 60 + 48 + 3 = 7$. $f(4) = 2(64) - 15(16) + 24(4) + 3 = 128 - 240 + 96 + 3 = -13$. $f(8) = 2(512) - 15(64) + 24(8) + 3 = 1024 - 960 + 192 + 3 = 259$. Наибольшее: 259, наименьшее: -13. **4.195. $y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1$ на $[-1; 2]$** $y' = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x+2)(x-1)$. Критические точки: $x=-2$ (не входит), $x=1$ (входит). $f(-1) = 2(-1) + 3(1) - 12(-1) - 1 = -2 + 3 + 12 - 1 = 12$. $f(1) = 2(1) + 3(1) - 12(1) - 1 = 2 + 3 - 12 - 1 = -8$. $f(2) = 2(8) + 3(4) - 12(2) - 1 = 16 + 12 - 24 - 1 = 3$. Наибольшее: 12, наименьшее: -8. **4.196. $y = -x^3 - 3x^2 + 9x - 2$ на $[-2; 2]$** $y' = -3x^2 - 6x + 9 = -3(x^2 + 2x - 3) = -3(x+3)(x-1)$. Критические точки: $x=-3$ (не входит), $x=1$ (входит). $f(-2) = -(-8) - 3(4) + 9(-2) - 2 = 8 - 12 - 18 - 2 = -24$. $f(1) = -1 - 3 + 9 - 2 = 3$. $f(2) = -8 - 3(4) + 9(2) - 2 = -8 - 12 + 18 - 2 = -4$. Наибольшее: 3, наименьшее: -24. **4.197. $y = 2x^3 + 3x^2 + 2$ на $[-2; 1]$** $y' = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$. Критические точки: $x=0, x=-1$. Обе входят. $f(-2) = 2(-8) + 3(4) + 2 = -16 + 12 + 2 = -2$. $f(-1) = 2(-1) + 3(1) + 2 = 3$. $f(0) = 2$. $f(1) = 2(1) + 3(1) + 2 = 7$. Наибольшее: 7, наименьшее: -2. **4.198. $y = -x^3 + 3x^2 + 4$ на $[-3; 3]$** $y' = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$. Критические точки: $x=0, x=2$. Обе входят. $f(-3) = -(-27) + 3(9) + 4 = 27 + 27 + 4 = 58$. $f(0) = 4$. $f(2) = -8 + 3(4) + 4 = 8$. $f(3) = -27 + 3(9) + 4 = 4$. Наибольшее: 58, наименьшее: 4. **4.199. $y = 2x^3 - 9x^2 - 3$ на $[-1; 4]$** $y' = 6x^2 - 18x = 6x(x-3)$. Критические точки: $x=0, x=3$. Обе входят. $f(-1) = 2(-1) - 9(1) - 3 = -14$. $f(0) = -3$. $f(3) = 2(27) - 9(9) - 3 = 54 - 81 - 3 = -30$. $f(4) = 2(64) - 9(16) - 3 = 128 - 144 - 3 = -19$. Наибольшее: -3, наименьшее: -30. **4.200. $y = x^3 - 3x^2 - 9x - 4$ на $[-4; 4]$** $y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$. Критические точки: $x=3, x=-1$. Обе входят. $f(-4) = -64 - 3(16) - 9(-4) - 4 = -64 - 48 + 36 - 4 = -80$. $f(-1) = -1 - 3(1) - 9(-1) - 4 = -1 - 3 + 9 - 4 = 1$. $f(3) = 27 - 3(9) - 9(3) - 4 = 27 - 27 - 27 - 4 = -31$. $f(4) = 64 - 3(16) - 9(4) - 4 = 64 - 48 - 36 - 4 = -24$. Наибольшее: 1, наименьшее: -80.