Крепость имеет форму, показанную на рисунке. Комендант измерил периметр её стен внутри и получил 460 м. Потом он измерил периметр стен крепости с внешней стороны и получил 500 м. Найдите толщину стен крепости, если она всюду одинакова.

Пусть $x$ — искомая толщина стены. Внешний контур крепости состоит из набора горизонтальных и вертикальных отрезков. Внутренний контур также состоит из отрезков, которые сдвинуты внутрь на величину $x$ относительно внешних. Разница периметров внешнего ($P_{ext} = 500$) и внутреннего ($P_{int} = 460$) контуров зависит от количества «внешних» углов многоугольника. Периметр любой фигуры, полученной «сдвигом» внутрь сторон многоугольника на расстояние $x$, уменьшается на величину $2 \cdot \pi \cdot x$ (если бы углы были скруглены), но здесь углы прямые. В такой фигуре (многоугольник без самопересечений) изменение периметра при сдвиге границы внутрь на $x$ равно $8x$ (учитывая по 4 угла на каждое «вырезание» или выступ, если углы прямые, разница в длине для каждой пары параллельных сторон компенсируется, а углы дают вклад $2\pi x$ в случае круга или $8x$ для прямоугольных структур). Точнее: для прямоугольного многоугольника $P_{ext} - P_{int} = 8x$, где $x$ — толщина. $500 - 460 = 40$ $8x = 40$ $x = 40 / 8 = 5$ Ответ: 5 м.