Question

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. K, L, M, N — середины AB, BC, CD, DA. Докажите, что KLMN — параллелограмм, и найдите его периметр, если AC = 8 см, BD = 12 см.

Accepted Answer

Доказательство:
1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $K$ — середина $AB$, а $L$ — середина $BC$, то $KL$ — средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
2. Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $N$ — середина $AD$, а $M$ — середина $CD$, то $NM$ — средняя линия треугольника $ADC$. Следовательно, $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
3. Так как $KL \parallel AC$ и $NM \parallel AC$, то $KL \parallel NM$. Также $KL = NM = 4$ см. Значит, четырехугольник $KLMN$ — параллелограмм (по признаку: две стороны равны и параллельны).
4. Аналогично для другой пары сторон: $KN$ — средняя линия $	riangle ABD$, значит $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. Также $LM$ — средняя линия $	riangle BCD$, значит $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2} BD = 6$ см.

Периметр:
Периметр $P_{KLMN} = 2 \cdot (KL + KN) = 2 \cdot (4 + 6) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. K, L, M, N — середины AB, BC, CD, DA. Докажите, что KLMN — параллелограмм, и найдите его периметр, если AC = 8 см, BD = 12 см.

Ответ ассистента

Другие решения