Ответ подготовлен нейросетью и может содержать ошибки
Объяснение и пошаговое решение
### **Ответ:**
1. Равенства верны, так как при вычислении обе части каждого равенства дают одинаковый результат:
* $\frac{1}{1 \cdot 2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$;
* $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$;
* $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
2. Доказано: сумма $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100} = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$, что меньше $1$.
---
### **Объяснение и решение:**
#### **1. Проверим заданные равенства**
* **Первое равенство:**
* Слева: $\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$
* Справа: $1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
* Значения совпадают: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ — верно.
* **Второе равенство:**
* Слева: $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$
* Справа: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$
* Значения совпадают: $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ — верно.
* **Третье равенство:**
* Слева: $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$
* Справа: $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$
* Значения совпадают: $\frac{1}{12} = \frac{1}{12}$ — верно.
Общая закономерность: любую дробь вида $\frac{1}{n \cdot (n + 1)}$ можно представить в виде разности $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$.
---
#### **2. Доказательство**
Запишем сумму дробей и заменим каждое слагаемое соответствующей разностью:
$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100} =$$
$$= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right)$$
Раскроем скобки:
$$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots - \frac{1}{99} + \frac{1}{99} - \frac{1}{100}$$
Заметим, что все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (в сумме дают $0$):
* $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$
* $-\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0$
* и так далее до $-\frac{1}{99} + \frac{1}{99} = 0$.
Остаются только самое первое и самое последнее числа:
$$= 1 - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$$
Так как числитель дроби меньше знаменателя ($99 < 100$), дробь $\frac{99}{100}$ является правильной, а любая правильная дробь меньше $1$:
$$\frac{99}{100} < 1$$
**Утверждение доказано.**
Оцени решение:
Спасибо за оценку!
ИИ-решебник / Часть 2 / §5 / упражнение / 5.476
