Объяснение и пошаговое решение
### Ответы
#### **Проверочная работа № 1**
1. **а)** $30\,\%$; **б)** $540\,\%$; **в)** $32,4\,\%$.
2. **а)** $0,04$; **б)** $2,46$; **в)** $0,073$.
3. Верные утверждения: **а**, **в**, **г**.
4. **а)** $10\text{ г}$; **б)** $9\text{ г}$; **в)** $19\,\%$.
---
#### **Проверочная работа № 2**
1. **а)** $0,45$; **б)** $0,0048$; **в)** $5,85$; **г)** $811,5\text{ р.}$ (или $811\text{ р. } 50\text{ коп.}$); **д)** $0,12\text{ кг}$ (или $120\text{ г}$); **е)** $5,4\text{ мин}$ (или $5\text{ мин } 24\text{ с}$).
2. $500\text{ человек}$.
3. **а)** $720\text{ берёз}$; **б)** $72\text{ берёзы}$; **в)** $3\,\%$.
---
#### **Проверочная работа № 3**
1.
* «Первый банк» — $4,5\,\%$;
* «Хороший банк» — $3,5\,\%$;
* «Надёжный банк» — $3,9\,\%$;
* «Солидный банк» — $3,7\,\%$.
Наиболее выгодно открыть вклад в **«Первом банке»**.
2.
**а)** $20\,\%\text{ от } 100 < 5\,\%\text{ от } 1000$;
**б)** $50\,\%\text{ от } 300\,000 > 150\,\%\text{ от } 20\,000$;
**в)** $10\,\%\text{ от } 5,6 = 0,1\,\%\text{ от } 560$.
3. **а)** $600$; **б)** $3000$; **в)** $500$; **г)** $4\dfrac{16}{21}$.
4. **а)** $400\text{ км}$; **б)** $50\text{ ч}$ (или $3000\text{ мин}$).
---
### Решение и объяснение
---
### **Проверочная работа № 1**
**1. Перевод десятичной дроби в проценты**
*Правило: чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить её на $100$ и приписать знак $\%$.*
* а) $0,3 \cdot 100 = 30\,\%$
* б) $5,4 \cdot 100 = 540\,\%$
* в) $0,324 \cdot 100 = 32,4\,\%$
**2. Представление процентов в виде десятичной дроби**
*Правило: чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно число процентов разделить на $100$.*
* а) $4\,\% = 4 : 100 = 0,04$
* б) $246\,\% = 246 : 100 = 2,46$
* в) $7,3\,\% = 7,3 : 100 = 0,073$
**3. Проверка утверждений**
* **а)** $1\text{ дм} = 100\text{ мм}$. $1\,\%$ от $100\text{ мм}$ равен $100 : 100 = 1\text{ мм}$. — **Верно.**
* **б)** $1\text{ км} = 1000\text{ м}$. $1\,\%$ от $1000\text{ м}$ равен $1000 : 100 = 10\text{ м}$. — **Неверно.**
* **в)** $1\text{ м}^2 = 10\,000\text{ см}^2$. $1\,\%$ от $10\,000\text{ см}^2$ равен $10\,000 : 100 = 100\text{ см}^2$. — **Верно.**
* **г)** $1\text{ га} = 100\text{ а}$. $1\,\%$ от $100\text{ а}$ равен $100 : 100 = 1\text{ а}$. — **Верно.**
* **д)\*** $1\text{ дм}^2 = 10\,000\text{ мм}^2$. $1\,\%$ от $10\,000\text{ мм}^2$ равен $100\text{ мм}^2$. — **Неверно.**
* **е)** $1\text{ м}^3 = 1\,000\,000\text{ см}^3$. $1\,\%$ от $1\,000\,000\text{ см}^3$ равен $10\,000\text{ см}^3$. — **Неверно.**
**4. Задача про шоколад**
* а) $10\,\% = 0,1$. Масса первого кусочка:
$100 \cdot 0,1 = 10\text{ (г)}$.
* б) Масса оставшейся части шоколадки:
$100 - 10 = 90\text{ (г)}$.
Масса второго кусочка ($10\,\%$ от остатка):
$90 \cdot 0,1 = 9\text{ (г)}$.
* в)\* Всего отломили:
$10 + 9 = 19\text{ (г)}$.
Так как вся плитка весит $100\text{ г}$, то $19\text{ г}$ составляют $\dfrac{19}{100} \cdot 100\,\% = 19\,\%$.
---
### **Проверочная работа № 2**
**1. Нахождение процента от числа**
*Правило: чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить данное число на эту дробь.*
* а) $3\,\% = 0,03 \implies 15 \cdot 0,03 = 0,45$
* б) $0,12\,\% = 0,0012 \implies 4 \cdot 0,0012 = 0,0048$
* в) $130\,\% = 1,3 \implies 4,5 \cdot 1,3 = 5,85$
* г) $25\,\% = 0,25 \implies 3246 \cdot 0,25 = 811,5\text{ (р.)}$
* д) $0,6\,\% = 0,006 \implies 20 \cdot 0,006 = 0,12\text{ (кг)}$
* е)\* Переведём время в минуты: $2\text{ ч } 15\text{ мин} = 2 \cdot 60 + 15 = 135\text{ мин}$.
$4\,\% = 0,04 \implies 135 \cdot 0,04 = 5,4\text{ (мин)} = 5\text{ мин } 24\text{ с}$.
**2. Задача про кинотеатр (нахождение числа по его проценту)**
* $3\,\% = 0,03$.
* $15 : 0,03 = 1500 : 3 = 500\text{ (человек)}$.
**3. Задача про парк**
* а) Число берёз в парке ($30\,\% = 0,3$ от $2400$):
$2400 \cdot 0,3 = 720\text{ (берёз)}$.
* б) Число берёз, посаженных волонтёрами ($10\,\% = 0,1$ от $720$):
$720 \cdot 0,1 = 72\text{ (берёзы)}$.
* в) Процент от всех деревьев в парке:
$\dfrac{72}{2400} \cdot 100\,\% = \dfrac{72}{24} = 3\,\%$.
---
### **Проверочная работа № 3**
**1. Вклады в банках**
*Процентная ставка вычисляется по формуле: $\dfrac{\text{Начисления}}{\text{Сумма вклада}} \cdot 100\,\%$.*
* **«Первый банк»:** $\dfrac{1755}{39\,000} \cdot 100\,\% = 4,5\,\%$
* **«Хороший банк»:** $\dfrac{15\,750}{450\,000} \cdot 100\,\% = 3,5\,\%$
* **«Надёжный банк»:** $\dfrac{4680}{120\,000} \cdot 100\,\% = 3,9\,\%$
* **«Солидный банк»:** $\dfrac{111\,000}{3\,000\,000} \cdot 100\,\% = 3,7\,\%$
Наибольшая процентная ставка у «Первого банка» ($4,5\,\%$), следовательно, открывать вклад в нём наиболее выгодно.
**2. Сравнение величин**
* **а)** $20\,\%\text{ от } 100 = 100 \cdot 0,2 = 20$;
$5\,\%\text{ от } 1000 = 1000 \cdot 0,05 = 50$.
$20 < 50 \implies 20\,\%\text{ от } 100 < 5\,\%\text{ от } 1000$.
* **б)** $50\,\%\text{ от } 300\,000 = 300\,000 \cdot 0,5 = 150\,000$;
$150\,\%\text{ от } 20\,000 = 20\,000 \cdot 1,5 = 30\,000$.
$150\,000 > 30\,000 \implies 50\,\%\text{ от } 300\,000 > 150\,\%\text{ от } 20\,000$.
* **в)** $10\,\%\text{ от } 5,6 = 5,6 \cdot 0,1 = 0,56$;
$0,1\,\%\text{ от } 560 = 560 \cdot 0,001 = 0,56$.
$0,56 = 0,56 \implies 10\,\%\text{ от } 5,6 = 0,1\,\%\text{ от } 560$.
**3. Нахождение числа по его проценту**
*Правило: чтобы найти число по его проценту, нужно разделить известную часть на величину процента, выраженную дробью.*
* а) $23\,\% = 0,23 \implies 138 : 0,23 = 13\,800 : 23 = 600$
* б) $0,17\,\% = 0,0017 \implies 5,1 : 0,0017 = 51\,000 : 17 = 3000$
* в) $5,6\,\% = 0,056 \implies 28 : 0,056 = 28\,000 : 56 = 500$
* г)\* $2\dfrac{1}{21} = \dfrac{43}{21}$; $43\,\% = \dfrac{43}{100}$.
$\dfrac{43}{21} : \dfrac{43}{100} = \dfrac{43}{21} \cdot \dfrac{100}{43} = \dfrac{100}{21} = 4\dfrac{16}{21}$
**4. Нахождение величины по её проценту**
* $3,8\,\% = 0,038$.
* а) $15\text{ км } 200\text{ м} = 15,2\text{ км}$.
$15,2 : 0,038 = 15\,200 : 38 = 400\text{ (км)}$.
* б) $1\text{ ч } 54\text{ мин} = 60 + 54 = 114\text{ мин}$.
$114 : 0,038 = 114\,000 : 38 = 3000\text{ (мин)}$.
Переведём в часы: $3000 : 60 = 50\text{ (ч)}$.
ИИ-решебник / §1 / проверочные работы / стр. 26
