Нарисуйте треугольник ABC и проведите через его вершины А, В и С прямые, параллельные противоположным сторонам. Обозначьте вершины получившегося треугольника А₁, В₁ и С₁ так, чтобы точки А и А₁ лежали по разные стороны от прямой ВС, а точки В и В₁ — от прямой АС. Сравните длины сторон АВ и А₁В₁, АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁. Сделайте предположение.
ИИ-решебник / §6 / упражнение / 6.23
Ответ подготовлен нейросетью и может содержать ошибки
Объяснение и пошаговое решение
### Ответ
* **Сравнение длин сторон:**
* $A_1B_1 = 2 \cdot AB$ (сторона $A_1B_1$ в $2$ раза длиннее стороны $AB$);
* $A_1C_1 = 2 \cdot AC$ (сторона $A_1C_1$ в $2$ раза длиннее стороны $AC$);
* $B_1C_1 = 2 \cdot BC$ (сторона $B_1C_1$ в $2$ раза длиннее стороны $BC$).
* **Предположение:**
Каждая сторона получившегося треугольника $A_1B_1C_1$ параллельна соответствующей стороне треугольника $ABC$ и ровно в $2$ раза больше её по длине ($A_1B_1 = 2AB$, $A_1C_1 = 2AC$, $B_1C_1 = 2BC$). При этом вершины исходного треугольника $A$, $B$ и $C$ делят стороны треугольника $A_1B_1C_1$ пополам (являются их серединами).
---
### Объяснение и пошаговое построение
1. **Построение чертежа:**
* Нарисуйте произвольный треугольник $ABC$.
* Через вершину $A$ проведите прямую, параллельную противоположной стороне $BC$.
* Через вершину $B$ проведите прямую, параллельную противоположной стороне $AC$.
* Через вершину $C$ проведите прямую, параллельную противоположной стороне $AB$.
* Пересечения этих трёх прямых образуют вершины нового большого треугольника:
* Точку пересечения прямых, проходящих через вершины $B$ и $C$, обозначьте как $A_1$ (она лежит по другую сторону от прямой $BC$, чем точка $A$).
* Точку пересечения прямых, проходящих через вершины $A$ и $C$, обозначьте как $B_1$ (она лежит по другую сторону от прямой $AC$, чем точка $B$).
* Точку пересечения прямых, проходящих через вершины $A$ и $B$, обозначьте как $C_1$.
2. **Геометрическое обоснование:**
* При таком построении образуются четырёхугольники, у которых противоположные стороны попарно параллельны (параллелограммы):
* В четырёхугольнике $ABA_1C$ противоположные стороны равны: $A_1C = AB$.
* В четырёхугольнике $ABC B_1$ противоположные стороны равны: $CB_1 = AB$.
* Сторона $A_1B_1$ состоит из двух отрезков: $A_1C$ и $CB_1$. Сложив их, получаем:
$$A_1B_1 = A_1C + CB_1 = AB + AB = 2 \cdot AB$$
* Рассуждая аналогично для сторон $A_1C_1$ и $B_1C_1$, получаем:
$$A_1C_1 = 2 \cdot AC$$
$$B_1C_1 = 2 \cdot BC$$
Если измерить стороны полученного треугольника линейкой, результаты измерений подтвердят, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ ровно в два раза длиннее сторон исходного треугольника $ABC$.
ИИ-решебник / §6 / упражнение / 6.23
