ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 2 - 137

Преобразуем данное выражение, выделив квадрат двучлена: $$ -x^2 - 10x - 28 = -(x^2 + 10x + 28) $$ Представим выражение в скобках в виде суммы полного квадрата и числа: $$ x^2 + 10x + 28 = (x^2 + 2 \cdot 5 \cdot x + 25) + 3 = (x + 5)^2 + 3 $$ Тогда исходное выражение принимает вид: $$ -((x + 5)^2 + 3) = -(x + 5)^2 - 3 $$ 1. **Доказательство:** Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x + 5)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$. Следовательно: $$ -(x + 5)^2 \le 0 $$ Вычитая из обеих частей неравенства число $3$, получаем: $$ -(x + 5)^2 - 3 \le -3 $$ Так как $-3 < 0$, то при любом значении $x$ значение выражения $-(x + 5)^2 - 3 < 0$, то есть оно принимает только отрицательные значения при всех значениях $x$. Что и требовалось доказать. 2. **Нахождение наибольшего значения:** Выражение $-(x + 5)^2 - 3$ принимает наибольшее значение тогда, когда вычитаемая неотрицательная величина $(x + 5)^2$ принимает наименьшее возможное значение, то есть равна нулю: $$ (x + 5)^2 = 0 \implies x + 5 = 0 \implies x = -5 $$ При $x = -5$ значение выражения равно: $$ -( -5 + 5 )^2 - 3 = 0 - 3 = -3 $$ Ответ: наибольшее значение равно $-3$ при $x = -5$.