ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 2 - 146

1) $7x^3 - 63x = 0$ Вынесем общий множитель $7x$ за скобки: $$ 7x(x^2 - 9) = 0 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ 7x(x - 3)(x + 3) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$ 7x = 0 \quad \text{или} \quad x - 3 = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 $$ Ответ: $-3; 0; 3$. --- 2) $49x^3 - 14x^2 + x = 0$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(49x^2 - 14x + 1) = 0 $$ В скобках выделим квадрат разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$: $$ x(7x - 1)^2 = 0 $$ Приравняем множители к нулю: $$ x = 0 \quad \text{или} \quad 7x - 1 = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{или} \quad 7x = 1 \implies x = \frac{1}{7} $$ Ответ: $0; \frac{1}{7}$. --- 3) $x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$ Разложим левую часть на множители методом группировки: $$ (x^3 - 5x^2) - (x - 5) = 0 $$ Вынесем общий множитель $x^2$ из первой группы: $$ x^2(x - 5) - (x - 5) = 0 $$ Вынесем общий многочлен $(x - 5)$ за скобки: $$ (x - 5)(x^2 - 1) = 0 $$ Разложим разность квадратов $(x^2 - 1)$: $$ (x - 5)(x - 1)(x + 1) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: $$ x - 5 = 0 \quad \text{или} \quad x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad x + 1 = 0 $$ $$ x = 5 \quad \text{или} \quad x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 $$ Ответ: $-1; 1; 5$. --- 4) $x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0$ Применим метод группировки: $$ (x^3 - 3x^2) + (4x - 12) = 0 $$ Вынесем общие множители из каждой скобки: $$ x^2(x - 3) + 4(x - 3) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x - 3)$: $$ (x - 3)(x^2 + 4) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: $$ x - 3 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 4 = 0 $$ 1. $x - 3 = 0 \implies x = 3$; 2. $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$ — действительных корней нет, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Ответ: $3$. --- 5) $4x^4 + 12x^3 - 4x^2 - 12x = 0$ Вынесем общий множитель $4x$ за скобки: $$ 4x(x^3 + 3x^2 - x - 3) = 0 $$ Сгруппируем слагаемые внутри скобок: $$ 4x \big( (x^3 + 3x^2) - (x + 3) \big) = 0 $$ $$ 4x \big( x^2(x + 3) - (x + 3) \big) = 0 $$ Вынесем $(x + 3)$ за скобки: $$ 4x(x + 3)(x^2 - 1) = 0 $$ Применим формулу разности квадратов к $(x^2 - 1)$: $$ 4x(x + 3)(x - 1)(x + 1) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: $$ 4x = 0 \implies x = 0 $$ $$ x + 3 = 0 \implies x = -3 $$ $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ $$ x + 1 = 0 \implies x = -1 $$ Ответ: $-3; -1; 0; 1$. --- 6) $x^5 - 4x^4 + 4x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0$ Сгруппируем первые три слагаемых и последние три: $$ (x^5 - 4x^4 + 4x^3) - (x^2 - 4x + 4) = 0 $$ Вынесем $x^3$ из первой группы: $$ x^3(x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) = 0 $$ Вынесем общий трехчлен $(x^2 - 4x + 4)$ за скобки: $$ (x^2 - 4x + 4)(x^3 - 1) = 0 $$ Заметим, что $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$, а $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ по формуле разности кубов: $$ (x - 2)^2(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: $$ (x - 2)^2 = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2 $$ $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ $$ x^2 + x + 1 = 0 $$ Выделим полный квадрат: $$ \left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{4} = 0 \implies \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = 0 $$ Так как $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$, выражение $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0$ при любых значениях $x$. Значит, уравнение $x^2 + x + 1 = 0$ не имеет корней. Ответ: $1; 2$.