ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 2 - 185

Перенесём все слагаемые из правой части уравнения в левую с противоположными знаками: $$ x^2 + y^2 + 34 - 6x + 10y = 0 $$ Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, и слагаемые, содержащие переменную $y$: $$ (x^2 - 6x) + (y^2 + 10y) + 34 = 0 $$ Выделим полные квадраты двучленов. Для выражения $x^2 - 6x$ не хватает $3^2 = 9$, а для выражения $y^2 + 10y$ не хватает $5^2 = 25$. Так как $9 + 25 = 34$, представим число $34$ в виде суммы $9 + 25$: $$ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) = 0 $$ Применим формулы квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x - 3)^2 \ge 0$ и $(y + 5)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них одновременно равно нулю: $$ \begin{cases} (x - 3)^2 = 0, \\ (y + 5)^2 = 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x - 3 = 0, \\ y + 5 = 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x = 3, \\ y = -5. \end{cases} $$ Ответ: $(3; -5)$.