ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 2 - 200

1) $$ \begin{cases} 4x - 5y = -22, \\ 3x + 7y = 5. \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на $7$, а второе — на $5$: $$ \begin{cases} 28x - 35y = -154, \\ 15x + 35y = 25. \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения системы: $$ (28x + 15x) + (-35y + 35y) = -154 + 25 $$ $$ 43x = -129 $$ $$ x = -3 $$ Подставим значение $x = -3$ во второе уравнение исходной системы: $$ 3 \cdot (-3) + 7y = 5 $$ $$ -9 + 7y = 5 $$ $$ 7y = 14 $$ $$ y = 2 $$ Ответ: $(-3; 2)$. 2) $$ \begin{cases} 8x + 3y = 31, \\ 6x - 5y = 45. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $5$, а второе — на $3$: $$ \begin{cases} 40x + 15y = 155, \\ 18x - 15y = 135. \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения: $$ 58x = 290 $$ $$ x = 5 $$ Подставим $x = 5$ в первое уравнение системы: $$ 8 \cdot 5 + 3y = 31 $$ $$ 40 + 3y = 31 $$ $$ 3y = -9 $$ $$ y = -3 $$ Ответ: $(5; -3)$. 3) $$ \begin{cases} 2x - 5y + 33 = 0, \\ 3x - 8y + 52 = 0. \end{cases} $$ Перенесем свободные члены в правые части уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 5y = -33, \\ 3x - 8y = -52. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $3$, а второе — на $-2$: $$ \begin{cases} 6x - 15y = -99, \\ -6x + 16y = 104. \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения: $$ y = 5 $$ Подставим $y = 5$ в уравнение $2x - 5y = -33$: $$ 2x - 5 \cdot 5 = -33 $$ $$ 2x - 25 = -33 $$ $$ 2x = -8 $$ $$ x = -4 $$ Ответ: $(-4; 5)$. 4) $$ \begin{cases} 6(x - 3) = 7y - 1, \\ 2(y + 6) = 3x + 2. \end{cases} $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ \begin{cases} 6x - 18 = 7y - 1, \\ 2y + 12 = 3x + 2; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6x - 7y = 17, \\ -3x + 2y = -10. \end{cases} $$ Умножим второе уравнение на $2$: $$ \begin{cases} 6x - 7y = 17, \\ -6x + 4y = -20. \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения: $$ -3y = -3 $$ $$ y = 1 $$ Подставим $y = 1$ в первое уравнение $6x - 7y = 17$: $$ 6x - 7 \cdot 1 = 17 $$ $$ 6x = 24 $$ $$ x = 4 $$ Ответ: $(4; 1)$. 5) $$ \begin{cases} 2(3a - 4b) - 4(b + 5) = 4, \\ 3(8b - 5) - (7 - 2a) = -42. \end{cases} $$ Раскроем скобки: $$ \begin{cases} 6a - 8b - 4b - 20 = 4, \\ 24b - 15 - 7 + 2a = -42; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6a - 12b = 24, \\ 2a + 24b = -20. \end{cases} $$ Разделим первое уравнение на $6$, а второе — на $2$: $$ \begin{cases} a - 2b = 4, \\ a + 12b = -10. \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (a + 12b) - (a - 2b) = -10 - 4 $$ $$ 14b = -14 $$ $$ b = -1 $$ Найдем $a$ из уравнения $a - 2b = 4$: $$ a - 2 \cdot (-1) = 4 $$ $$ a + 2 = 4 $$ $$ a = 2 $$ Ответ: $a = 2$, $b = -1$. 6) $$ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 8, \\ \frac{3x}{8} + \frac{y}{4} = 22. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $6$, а второе — на $8$, чтобы избавиться от знаменателей: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 48, \\ 3x + 2y = 176. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $2$, а второе — на $3$: $$ \begin{cases} 4x - 6y = 96, \\ 9x + 6y = 528. \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения: $$ 13x = 624 $$ $$ x = 48 $$ Подставим $x = 48$ в уравнение $2x - 3y = 48$: $$ 2 \cdot 48 - 3y = 48 $$ $$ 96 - 3y = 48 $$ $$ 3y = 48 $$ $$ y = 16 $$ Ответ: $(48; 16)$. 7) $$ \begin{cases} \frac{m + 1}{5} - \frac{3n - 5}{10} = -2, \\ \frac{m - 3}{6} + \frac{5n - 9}{4} = 2,5. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $10$, а второе — на $12$: $$ \begin{cases} 2(m + 1) - (3n - 5) = -20, \\ 2(m - 3) + 3(5n - 9) = 12 \cdot 2,5; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2m + 2 - 3n + 5 = -20, \\ 2m - 6 + 15n - 27 = 30; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2m - 3n = -27, \\ 2m + 15n = 63. \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (2m + 15n) - (2m - 3n) = 63 - (-27) $$ $$ 18n = 90 $$ $$ n = 5 $$ Подставим $n = 5$ в уравнение $2m - 3n = -27$: $$ 2m - 3 \cdot 5 = -27 $$ $$ 2m - 15 = -27 $$ $$ 2m = -12 $$ $$ m = -6 $$ Ответ: $m = -6$, $n = 5$. 8) $$ \begin{cases} \frac{3x - 10}{5} - \frac{2x - 2y}{3} = \frac{3x + 4}{15}, \\ \frac{5x - 34}{12} + \frac{3y + 4}{2} = \frac{5y}{3}. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $15$, а второе — на $12$: $$ \begin{cases} 3(3x - 10) - 5(2x - 2y) = 3x + 4, \\ (5x - 34) + 6(3y + 4) = 4 \cdot 5y; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 9x - 30 - 10x + 10y = 3x + 4, \\ 5x - 34 + 18y + 24 = 20y; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -4x + 10y = 34, \\ 5x - 2y = 10. \end{cases} $$ Разделим первое уравнение на $2$: $$ \begin{cases} -2x + 5y = 17, \\ 5x - 2y = 10. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $2$, а второе — на $5$: $$ \begin{cases} -4x + 10y = 34, \\ 25x - 10y = 50. \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения: $$ 21x = 84 $$ $$ x = 4 $$ Подставим $x = 4$ в уравнение $5x - 2y = 10$: $$ 5 \cdot 4 - 2y = 10 $$ $$ 20 - 2y = 10 $$ $$ 2y = 10 $$ $$ y = 5 $$ Ответ: $(4; 5)$.