ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 2 - 202

1) $$ \begin{cases} 3x - y = -7, \\ 5x + 2y = -8 \end{cases} $$ Выясним, имеет ли система решение, сравнив коэффициенты при переменных $x$ и $y$: Отношение коэффициентов при $x$: $\frac{3}{5}$. Отношение коэффициентов при $y$: $\frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$. Так как $\frac{3}{5} \neq -\frac{1}{2}$ (коэффициенты при переменных не пропорциональны), графики уравнений являются пересекающимися прямыми, а значит, система имеет единственное решение. Найдем это решение методом подстановки: Из первого уравнения выразим $y$: $$ y = 3x + 7 $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ 5x + 2(3x + 7) = -8 $$ $$ 5x + 6x + 14 = -8 $$ $$ 11x = -8 - 14 $$ $$ 11x = -22 $$ $$ x = -2 $$ Найдем значение $y$: $$ y = 3 \cdot (-2) + 7 = -6 + 7 = 1 $$ Пара чисел $(-2; 1)$ является решением системы. Ответ: да, система имеет решение (единственное решение: $(-2; 1)$). --- 2) $$ \begin{cases} 2x + y = 5, \\ 7x - 2y = 23, \\ x - 3y = 0 \end{cases} $$ Система из трех уравнений с двумя переменными имеет решение тогда и только тогда, когда существует пара чисел $(x; y)$, удовлетворяющая всем трем уравнениям одновременно. Найдем решение системы, составленной из первых двух уравнений: $$ \begin{cases} 2x + y = 5, \\ 7x - 2y = 23 \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения: $$ y = 5 - 2x $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ 7x - 2(5 - 2x) = 23 $$ $$ 7x - 10 + 4x = 23 $$ $$ 11x = 23 + 10 $$ $$ 11x = 33 $$ $$ x = 3 $$ Найдем значение $y$: $$ y = 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1 $$ Пара чисел $(3; -1)$ — единственное решение первых двух уравнений. Проверим, удовлетворяет ли найденная пара третьему уравнению системы: $$ x - 3y = 0 $$ $$ 3 - 3 \cdot (-1) = 3 + 3 = 6 \neq 0 $$ Получили неверное числовое равенство ($6 \neq 0$), следовательно, пара $(3; -1)$ не удовлетворяет третьему уравнению. Значит, система не имеет решений. Ответ: нет, система не имеет решений.