ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1026

1) $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ x + 2y = 3. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы: разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - y)(x + y) = 0. $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ x - y = 0 \quad \text{или} \quad x + y = 0, $$ откуда получаем две прямые: $$ y = x \quad \text{и} \quad y = -x. $$ Таким образом, графиком первого уравнения является пара пересекающихся прямых: * Прямая $y = x$ проходит через точки $(0; 0)$ и $(2; 2)$. * Прямая $y = -x$ проходит через точки $(0; 0)$ и $(2; -2)$. Преобразуем второе уравнение системы: $$ 2y = 3 - x \implies y = -0{,}5x + 1{,}5. $$ Графиком второго уравнения является прямая линия. Построим её по двум точкам: * если $x = 1$, то $y = -0{,}5 \cdot 1 + 1{,}5 = 1$, получаем точку $(1; 1)$; * если $x = 3$, то $y = -0{,}5 \cdot 3 + 1{,}5 = 0$, получаем точку $(3; 0)$; * если $x = -3$, то $y = -0{,}5 \cdot (-3) + 1{,}5 = 3$, получаем точку $(-3; 3)$. Построив графики в одной системе координат, находим их точки пересечения: 1. Прямая $y = -0{,}5x + 1{,}5$ пересекает прямую $y = x$ в точке с координатами $(1; 1)$. 2. Прямая $y = -0{,}5x + 1{,}5$ пересекает прямую $y = -x$ в точке с координатами $(-3; 3)$. Ответ: $(1; 1)$, $(-3; 3)$. --- 2) $$ \begin{cases} |y - 2x| = 3, \\ x - 2y = 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение: по определению модуля, равенство $|y - 2x| = 3$ означает, что: $$ y - 2x = 3 \quad \text{или} \quad y - 2x = -3, $$ откуда: $$ y = 2x + 3 \quad \text{или} \quad y = 2x - 3. $$ Графиком первого уравнения является пара параллельных прямых: * Прямая $y = 2x + 3$ проходит через точки $(0; 3)$ и $(-2; -1)$. * Прямая $y = 2x - 3$ проходит через точки $(0; -3)$ и $(2; 1)$. Преобразуем второе уравнение: $$ 2y = x \implies y = 0{,}5x. $$ Графиком второго уравнения является прямая, проходящая через начало координат. Возьмём для её построения точки: * если $x = 0$, то $y = 0$, получаем точку $(0; 0)$; * если $x = 2$, то $y = 1$, получаем точку $(2; 1)$; * если $x = -2$, то $y = -1$, получаем точку $(-2; -1)$. Построив графики в одной системе координат, находим их точки пересечения: 1. Прямая $y = 0{,}5x$ пересекает прямую $y = 2x + 3$ в точке $(-2; -1)$. 2. Прямая $y = 0{,}5x$ пересекает прямую $y = 2x - 3$ в точке $(2; 1)$. Ответ: $(-2; -1)$, $(2; 1)$. --- 3) $$ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4, \\ |x + y| = 2. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение: свернём левую часть по формуле квадрата разности: $$ (x - y)^2 = 4, $$ откуда: $$ x - y = 2 \quad \text{или} \quad x - y = -2, $$ выразим $y$: $$ y = x - 2 \quad \text{или} \quad y = x + 2. $$ График первого уравнения — это две параллельные прямые: * Прямая $y = x - 2$ проходит через точки $(0; -2)$ и $(2; 0)$. * Прямая $y = x + 2$ проходит через точки $(0; 2)$ и $(-2; 0)$. Преобразуем второе уравнение: по определению модуля: $$ x + y = 2 \quad \text{или} \quad x + y = -2, $$ выразим $y$: $$ y = -x + 2 \quad \text{или} \quad y = -x - 2. $$ График второго уравнения — это также две параллельные прямые: * Прямая $y = -x + 2$ проходит через точки $(0; 2)$ и $(2; 0)$. * Прямая $y = -x - 2$ проходит через точки $(0; -2)$ и $(-2; 0)$. Построив все прямые в одной системе координат, находим точки их взаимного пересечения: 1. Пересечение $y = x - 2$ и $y = -x + 2$: точка $(2; 0)$. 2. Пересечение $y = x - 2$ и $y = -x - 2$: точка $(0; -2)$. 3. Пересечение $y = x + 2$ и $y = -x + 2$: точка $(0; 2)$. 4. Пересечение $y = x + 2$ и $y = -x - 2$: точка $(-2; 0)$. Ответ: $(2; 0)$, $(0; -2)$, $(0; 2)$, $(-2; 0)$.