ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1025

1) $$ \begin{cases} |x| - y = 0, \\ x - y = -4 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ в каждом уравнении: $$ \begin{cases} y = |x|, \\ y = x + 4 \end{cases} $$ Построим графики уравнений в одной системе координат: 1. График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: - при $x \ge 0$: $y = x$, проходит через точки $(0; 0)$ и $(2; 2)$; - при $x < 0$: $y = -x$, проходит через точки $(-2; 2)$ и $(-4; 4)$. 2. График уравнения $y = x + 4$ — прямая. Составим таблицу значений: - если $x = 0$, то $y = 4$; - если $x = -4$, то $y = 0$. Прямая и луч $y = -x$ пересекаются в точке с координатами $(-2; 2)$. Проверка: $$ \begin{cases} |-2| - 2 = 2 - 2 = 0, \\ -2 - 2 = -4 \end{cases} $$ Оба равенства верны. Ответ: $(-2; 2)$. --- 2) $$ \begin{cases} |x| - y = 0, \\ x + 3y = 4 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$: $$ \begin{cases} y = |x|, \\ 3y = 4 - x \implies y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \end{cases} $$ Построим графики уравнений: 1. График $y = |x|$ — лучи с вершиной в точке $(0; 0)$, проходящие через точки $(-2; 2)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$. 2. График $x + 3y = 4$ — прямая. Найдем точки для построения: - если $x = 1$, то $1 + 3y = 4 \implies 3y = 3 \implies y = 1$; точка $(1; 1)$; - если $x = -2$, то $-2 + 3y = 4 \implies 3y = 6 \implies y = 2$; точка $(-2; 2)$; - если $x = 4$, то $4 + 3y = 4 \implies 3y = 0 \implies y = 0$; точка $(4; 0)$. Графики пересекаются в двух точках: $(-2; 2)$ и $(1; 1)$. Проверка: Для точки $(-2; 2)$: $|-2| - 2 = 0$ и $-2 + 3 \cdot 2 = 4$ (верно). Для точки $(1; 1)$: $|1| - 1 = 0$ и $1 + 3 \cdot 1 = 4$ (верно). Ответ: $(-2; 2)$, $(1; 1)$. --- 3) $$ \begin{cases} y + |x| = 0, \\ x + y = 2 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$: $$ \begin{cases} y = -|x|, \\ y = -x + 2 \end{cases} $$ Построим графики уравнений: 1. График функции $y = -|x|$ состоит из двух лучей с вершиной в точке $(0; 0)$, направленных вниз: - при $x \ge 0$: $y = -x$, проходит через точки $(0; 0)$ и $(2; -2)$; - при $x < 0$: $y = x$, проходит через точки $(-2; -2)$ и $(0; 0)$. 2. График уравнения $y = -x + 2$ — прямая, проходящая через точки: - если $x = 0$, то $y = 2$; - если $x = 2$, то $y = 0$. Луч $y = -x$ (при $x \ge 0$) параллелен прямой $y = -x + 2$ (так как их угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = -1$), а с лучом $y = x$ (при $x < 0$) прямая не пересекается. Следовательно, графики не имеют общих точек, и система не имеет решений. Ответ: решений нет. --- 4) $$ \begin{cases} x - |y| = 0, \\ 2x - y = 3 \end{cases} $$ Преобразуем уравнения: $$ \begin{cases} x = |y|, \\ y = 2x - 3 \end{cases} $$ Построим графики уравнений: 1. График уравнения $x = |y|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат $(0; 0)$ в правую полуплоскость ($x \ge 0$): - при $y \ge 0$: $x = y$, проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(3; 3)$; - при $y < 0$: $x = -y$, проходит через точки $(1; -1)$ и $(2; -2)$. 2. График функции $y = 2x - 3$ — прямая. Составим таблицу точек: - если $x = 0$, то $y = -3$; - если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 - 3 = -1$; - если $x = 3$, то $y = 2 \cdot 3 - 3 = 3$. Прямая пересекает нижний луч $x = -y$ в точке $(1; -1)$, а верхний луч $x = y$ — в точке $(3; 3)$. Проверка: Для точки $(1; -1)$: $1 - |-1| = 0$ и $2 \cdot 1 - (-1) = 3$ (верно). Для точки $(3; 3)$: $3 - |3| = 0$ и $2 \cdot 3 - 3 = 3$ (верно). Ответ: $(1; -1)$, $(3; 3)$.