ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1023

Рассмотрим систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 3, \\ ax + 4y = b. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение системы на $-2$, чтобы коэффициент при переменной $y$ стал равен коэффициенту при $y$ во втором уравнении: $$ \begin{cases} -2x + 4y = -6, \\ ax + 4y = b. \end{cases} $$ Количество решений системы линейных уравнений зависит от соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{a}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{b}$. --- **1) Система имеет бесконечно много решений** Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений совпадают, то есть все соответствующие коэффициенты и свободные члены пропорциональны: $$ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} = \frac{3}{b}. $$ Так как $\frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, получаем два уравнения: 1. $\frac{1}{a} = -\frac{1}{2} \implies a = -2$; 2. $\frac{3}{b} = -\frac{1}{2} \implies b = 3 \cdot (-2) = -6$. При $a = -2$ и $b = -6$ второе уравнение принимает вид $-2x + 4y = -6$ и полностью совпадает с первым уравнением, умноженным на $-2$. --- **2) Система имеет единственное решение** Система имеет единственное решение, если прямые пересекаются, то есть коэффициенты при переменных не пропорциональны: $$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}. $$ $$ \frac{1}{a} \neq -\frac{1}{2} \implies a \neq -2. $$ При этом значение $b$ может быть любым числом. --- **3) Система не имеет решений** Система не имеет решений, если прямые параллельны (не совпадают), то есть коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет: $$ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} \neq \frac{3}{b}. $$ Отсюда: 1. $\frac{1}{a} = -\frac{1}{2} \implies a = -2$; 2. $\frac{3}{b} \neq -\frac{1}{2} \implies b \neq -6$. При $a = -2$ и $b \neq -6$ левые части уравнений одинаковы ($-2x + 4y$), а правые различны, следовательно, равенство невозможно. --- **Ответ:** 1) $a = -2$, $b = -6$; 2) $a \neq -2$, $b$ — любое число; 3) $a = -2$, $b \neq -6$.