ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1031

По условию остаток при делении числа $a$ на $5$ равен $4$, а остаток при делении числа $b$ на $5$ равен $3$. Запишем эти числа в виде деления с остатком: $a = 5k + 4$, где $k$ — целое число; $b = 5m + 3$, где $m$ — целое число. Подставим полученные выражения в $a^2 + b^2$: $$ a^2 + b^2 = (5k + 4)^2 + (5m + 3)^2 $$ Применим формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и раскроем скобки: $$ (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 $$ $$ (5m + 3)^2 = 25m^2 + 30m + 9 $$ Сложим полученные выражения: $$ a^2 + b^2 = 25k^2 + 40k + 16 + 25m^2 + 30m + 9 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ a^2 + b^2 = 25k^2 + 40k + 25m^2 + 30m + 25 $$ Вынесем общий множитель $5$ за скобки: $$ a^2 + b^2 = 5(5k^2 + 8k + 5m^2 + 6m + 5) $$ Так как $k$ и $m$ — целые числа, то выражение в скобках $(5k^2 + 8k + 5m^2 + 6m + 5)$ также является целым числом. Следовательно, произведение делится на $5$ нацело, а значит, значение выражения $a^2 + b^2$ кратно $5$, что и требовалось доказать.