ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1164

**1)** Докажем, что значение выражения $17^3 + 17^2 - 17$ кратно $61$. Вынесем общий множитель $17$ за скобки: $$ 17^3 + 17^2 - 17 = 17 \cdot (17^2 + 17 - 1) $$ Вычислим значение в скобках: $$ 17^2 + 17 - 1 = 289 + 17 - 1 = 305 $$ Представим число $305$ в виде произведения: $305 = 5 \cdot 61$. Тогда: $$ 17 \cdot 305 = 17 \cdot 5 \cdot 61 = 85 \cdot 61 $$ Так как один из множителей полученного произведения равен $61$, то и всё значение выражения кратно $61$. Что и требовалось доказать. --- **2)** Докажем, что значение выражения $25^4 - 125^2$ кратно $40$. Представим основания степеней в виде степеней числа $5$: * $25^4 = (5^2)^4 = 5^8$; * $125^2 = (5^3)^2 = 5^6$. Перепишем выражение и вынесем степень с наименьшим показателем $5^6$ за скобки: $$ 25^4 - 125^2 = 5^8 - 5^6 = 5^6 \cdot (5^2 - 1) = 5^6 \cdot (25 - 1) = 5^6 \cdot 24 $$ Выделим множитель $5$ из $5^6$, чтобы получить множитель, делящийся на $40$: $$ 5^6 \cdot 24 = 5^5 \cdot (5 \cdot 24) = 5^5 \cdot 120 $$ Число $120$ делится на $40$ без остатка ($120 = 40 \cdot 3$): $$ 5^5 \cdot 120 = 5^5 \cdot 3 \cdot 40 $$ Так как один из множителей равен $40$, то и всё выражение кратно $40$. Что и требовалось доказать. --- **3)** Докажем, что значение выражения $5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}$ кратно $60$. Вынесем за скобки общий множитель $2^{960}$: $$ 5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960} = 2^{960} \cdot (5 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2^1 + 1) $$ Вычислим значение выражения в скобках: $$ 5 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 1 = 20 - 6 + 1 = 15 $$ Получаем: $$ 2^{960} \cdot 15 $$ Так как $60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 15$, выделим множитель $2^2$ из $2^{960}$: $$ 2^{960} \cdot 15 = 2^{958} \cdot 2^2 \cdot 15 = 2^{958} \cdot (4 \cdot 15) = 2^{958} \cdot 60 $$ Так как один из множителей равен $60$, то и всё значение выражения кратно $60$. Что и требовалось доказать.