ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1165

1) Представим четырёхзначное число $\overline{abba}$ в виде суммы разрядных слагаемых: $$ \overline{abba} = 1000a + 100b + 10b + a $$ Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными и приведём подобные: $$ \overline{abba} = (1000a + a) + (100b + 10b) = 1001a + 110b $$ Заметим, что коэффициенты делятся на 11 ($1001 = 11 \cdot 91$, а $110 = 11 \cdot 10$). Вынесем общий множитель 11 за скобки: $$ \overline{abba} = 11(91a + 10b) $$ Так как $a$ и $b$ — цифры, значение в скобках $(91a + 10b)$ является целым числом. Один из множителей равен 11, следовательно, число $\overline{abba}$ делится нацело на 11 при любых значениях цифр $a$ и $b$. Что и требовалось доказать. 2) В условии учебника рассматривается шестизначное число $\overline{aaabbb}$ (в записи $\overline{aaabb}$ пропущена буква $b$, так как число $11100a + 11b$ не делится на 37 при произвольной ненулевой цифре $b$). Представим число $\overline{aaabbb}$ в виде суммы разрядных слагаемых: $$ \overline{aaabbb} = 100000a + 10000a + 1000a + 100b + 10b + b $$ $$ \overline{aaabbb} = 111000a + 111b $$ Вынесем общий множитель 111 за скобки: $$ \overline{aaabbb} = 111(1000a + b) $$ Так как $111 = 37 \cdot 3$, получаем: $$ \overline{aaabbb} = 37 \cdot 3(1000a + b) $$ Один из множителей равен 37, а выражение $3(1000a + b)$ принимает целые значения, следовательно, число $\overline{aaabbb}$ делится нацело на 37. Что и требовалось доказать. 3) Представим число $\overline{ababab}$ в виде суммы разрядных слагаемых: $$ \overline{ababab} = 100000a + 10000b + 1000a + 100b + 10a + b $$ Сгруппируем слагаемые с переменными $a$ и $b$: $$ \overline{ababab} = (100000a + 1000a + 10a) + (10000b + 100b + b) = 101010a + 10101b $$ Вынесем общий множитель 10101 за скобки: $$ \overline{ababab} = 10101(10a + b) $$ Разделим число 10101 на 7: $10101 : 7 = 1443$, то есть $10101 = 7 \cdot 1443$. Подставим это разложение: $$ \overline{ababab} = 7 \cdot 1443(10a + b) $$ Так как один из множителей равен 7, а множитель $1443(10a + b)$ является целым числом, число $\overline{ababab}$ делится нацело на 7. Что и требовалось доказать. 4) В условии опечатка в вычитаемом: в учебнике рассматривается разность $\overline{abab} - \overline{baba}$. Представим каждое из чисел через разрядные слагаемые: $$ \overline{abab} = 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b $$ $$ \overline{baba} = 1000b + 100a + 10b + a = 101a + 1010b $$ Составим их разность и раскроем скобки: $$ \overline{abab} - \overline{baba} = (1010a + 101b) - (101a + 1010b) = (1010a - 101a) - (1010b - 101b) = 909a - 909b $$ Вынесем общий множитель 909 за скобки: $$ \overline{abab} - \overline{baba} = 909(a - b) $$ Так как $909 = 9 \cdot 101$, получаем: $$ \overline{abab} - \overline{baba} = 9 \cdot 101 \cdot (a - b) $$ Поскольку в полученном произведении присутствуют множители 9 и 101, а $(a - b)$ — целое число, разность делится нацело как на 9, так и на 101. Что и требовалось доказать.