ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 260

Пусть номер счастливого билета состоит из шести цифр: $a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6$, где каждая цифра принимает значения от $0$ до $9$. По условию, билет является счастливым, если сумма первых трёх его цифр равна сумме трёх последних: $$ a_1 + a_2 + a_3 = a_4 + a_5 + a_6 $$ Поставим в соответствие каждому билету $a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6$ другой билет, заменив каждую его цифру $a$ на цифру $9 - a$: $$ (9 - a_1)(9 - a_2)(9 - a_3)(9 - a_4)(9 - a_5)(9 - a_6) $$ 1. Так как $0 \le a_i \le 9$, то и $0 \le 9 - a_i \le 9$, то есть все полученные числа являются цифрами, а полученный номер принадлежит диапазону от 000 000 до 999 999. 2. Проверим, является ли новый билет счастливым. Найдем сумму первых трёх цифр нового билета: $$ (9 - a_1) + (9 - a_2) + (9 - a_3) = 27 - (a_1 + a_2 + a_3) $$ Найдем сумму последних трёх цифр нового билета: $$ (9 - a_4) + (9 - a_5) + (9 - a_6) = 27 - (a_4 + a_5 + a_6) $$ Так как для исходного билета $a_1 + a_2 + a_3 = a_4 + a_5 + a_6$, то и разности $27 - (a_1 + a_2 + a_3)$ и $27 - (a_4 + a_5 + a_6)$ равны между собой. Следовательно, новый билет также является счастливым. 3. Проверим, может ли какой-либо билет совпасть со своей парой. Для этого должно выполняться равенство $a_i = 9 - a_i$ для каждой цифры: $$ 2a_i = 9 \implies a_i = 4{,}5 $$ Так как цифра номера может быть только целым числом, равенство невозможно. Значит, никакой билет не может быть парным самому себе. 4. При повторном применении этого правила к новому номеру мы вернемся к исходному, так как $9 - (9 - a_i) = a_i$. Таким образом, все счастливые билеты разбиваются на непересекающиеся пары. Следовательно, общее количество счастливых билетов чётно, что и требовалось доказать.