ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 343

1) Представим каждое из двузначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых: $$ \overline{ab} = 10a + b $$ $$ \overline{bc} = 10b + c $$ $$ \overline{ca} = 10c + a $$ Запишем сумму этих чисел и приведём подобные слагаемые: $$ \overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca} = (10a + b) + (10b + c) + (10c + a) $$ $$ = 10a + a + 10b + b + 10c + c = 11a + 11b + 11c = 11(a + b + c) $$ Так как один из множителей равен $11$, а сумма цифр $(a + b + c)$ является натуральным числом, то произведение $11(a + b + c)$ делится нацело на $11$. Следовательно, сумма чисел $\overline{ab}$, $\overline{bc}$ и $\overline{ca}$ делится нацело на $11$. Что и требовалось доказать. 2) Запишем трёхзначные числа в виде суммы разрядных слагаемых: $$ \overline{abc} = 100a + 10b + c $$ $$ \overline{cba} = 100c + 10b + a $$ Составим их разность и раскроем скобки: $$ \overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) $$ $$ = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a - 99c = 99(a - c) $$ Так как один из множителей равен $99$, а разность цифр $(a - c)$ является целым числом, то выражение $99(a - c)$ делится нацело на $99$. Следовательно, разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ делится нацело на $99$. Что и требовалось доказать.